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Gradient: Gradient berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Do 16.04.2015
Autor: Skyrula

Aufgabe
Berechne den Gradienten der gegebenen skalaren Funktion.

Hallo mal wieder,

ich soll einen Gradienten bestimmen aus der Funktion [mm] f(\vec{r})=xy+y^2z. [/mm]
Ich komme auf grad [mm] f(\vec{r})=\vektor{1 \\ 1+2y \\ 1}. [/mm]
Stimmt das oder habe ich mich völlig daneben gesetzt? Ich habe die Funktion partiell einmal nach x einmal nach y und einmal nach z abgeleitet und bin auf dieses Ergebnis gekommen.

Falls diese Aufgabe stimmt (Das wäre die erste Frage) habe ich Probleme bei der zweiten Aufgabe (Eigentliche Hauptfrage), denn ich soll den Gradienten von [mm] g(\vec{r})=ln|\vec{r}| [/mm] bestimmen und ich weiß nicht wie.

Über Tipps und Tricks würde ich mich sehr freuen.

Vielen Dank

        
Bezug
Gradient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Do 16.04.2015
Autor: Skyrula

Völlig in den Sand gefahren!

Mein Gradient lautet: grad [mm] f(\vec{r})=\vektor{y \\ x+2yz \\ y^2} [/mm]

(Hoffe das ist jetzt richtig, hab eine Rechenregel nicht beachtet)

die Fragen sind aber die gleichen.

Bezug
                
Bezug
Gradient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 Do 16.04.2015
Autor: notinX


> Völlig in den Sand gefahren!
>  
> Mein Gradient lautet: grad [mm]f(\vec{r})=\vektor{y \\ x+2yz \\ y^2}[/mm]

[ok]
Jetzt stimmts.

>  
> (Hoffe das ist jetzt richtig, hab eine Rechenregel nicht
> beachtet)
>  
> die Fragen sind aber die gleichen.


Bezug
        
Bezug
Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Do 16.04.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Berechne den Gradienten der gegebenen skalaren Funktion.
>  Hallo mal wieder,
>
> ich soll einen Gradienten bestimmen aus der Funktion
> [mm]f(\vec{r})=xy+y^2z.[/mm]
>  Ich komme auf grad [mm]f(\vec{r})=\vektor{1 \\ 1+2y \\ 1}.[/mm]
>  
> Stimmt das oder habe ich mich völlig daneben gesetzt? Ich

[notok]
Alle drei Komponenten sind falsch.

> habe die Funktion partiell einmal nach x einmal nach y und
> einmal nach z abgeleitet und bin auf dieses Ergebnis
> gekommen.
>  
> Falls diese Aufgabe stimmt (Das wäre die erste Frage) habe
> ich Probleme bei der zweiten Aufgabe (Eigentliche
> Hauptfrage), denn ich soll den Gradienten von
> [mm]g(\vec{r})=ln|\vec{r}|[/mm] bestimmen und ich weiß nicht wie.

Genauso wie man einen Gradient immer berechnet, nach der Definition. So, wie bei Du es oben selbst beschrieben hast.

>  
> Über Tipps und Tricks würde ich mich sehr freuen.
>  
> Vielen Dank

Hast Du Dich zuvor schonmal mit partiellen Ableitungen beschäftigt? Bei einer partiellen Ableitung nach einer Variable sind alle anderen Variablen als Konstanten zu behandeln. Wenn Du das beherzigst, kommst Du auf das richtige Ergebnis.

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Do 16.04.2015
Autor: Skyrula

Hey,

vielen Dank für die schnelle Antwort! Der Fehler in meinem Gradienten ist ja jetzt geklärt aber nun Zu der Hauptfrage:

Wie gehe ich vor bei der Bildung des Gradienten zu [mm] g(\vec{r})=ln|\vec{r}| [/mm] ?

Ich sehe die Möglichkeiten eine Partielle Ableitung zu machen so nicht und das muss doch passieren oder? Bestimmt lässt sich das Umschreiben aber ich komme nicht drauf.

Danke für eure Hilfe

Bezug
                        
Bezug
Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Do 16.04.2015
Autor: notinX


> Hey,
>  
> vielen Dank für die schnelle Antwort! Der Fehler in meinem
> Gradienten ist ja jetzt geklärt aber nun Zu der
> Hauptfrage:
>  
> Wie gehe ich vor bei der Bildung des Gradienten zu
> [mm]g(\vec{r})=ln|\vec{r}|[/mm] ?
>  
> Ich sehe die Möglichkeiten eine Partielle Ableitung zu
> machen so nicht und das muss doch passieren oder? Bestimmt

Ja, beim Gradient müssen partielle Ableitungen bestimmt werden.

> lässt sich das Umschreiben aber ich komme nicht drauf.

Wie ist denn [mm] $|\vec{r}|$ [/mm] definiert?

>  
> Danke für eure Hilfe

Gruß,

notinX

Bezug
                                
Bezug
Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Do 16.04.2015
Autor: Skyrula

Mh, der Betrag des Vektors r ist seine Länge. Das könnte vllt weiterhelfen:

[mm] g(\vec{r})=ln|\vec{r}|=ln\sqrt{x^2+y^2+z^2} [/mm]

Geht der Ansatz in die richtige Richtung?

Bezug
                                        
Bezug
Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Do 16.04.2015
Autor: notinX


> Mh, der Betrag des Vektors r ist seine Länge. Das könnte
> vllt weiterhelfen:
>  
> [mm]g(\vec{r})=ln|\vec{r}|=ln\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/mm]
>  
> Geht der Ansatz in die richtige Richtung?

Ja.

Bezug
                                                
Bezug
Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Do 16.04.2015
Autor: Skyrula

Also ich habe folgendes. Gesucht wird immer noch der Gradient:

[mm] g(\vec{r})=ln|\vec{r}|=ln\sqrt{x^2+y^2+z^2} [/mm]

[mm] \frac{\partial r}{\partial x}ln\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}*1=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} [/mm]

[mm] \frac{\partial r}{\partial y}ln\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}*1=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} [/mm]

[mm] \frac{\partial r}{\partial z}ln\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}*1=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] grad [mm] g(\vec{r})=\vektor{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}} [/mm]

Stimmt das? sieht ein wenig komisch aus :/

Bezug
                                                        
Bezug
Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Do 16.04.2015
Autor: notinX


> Also ich habe folgendes. Gesucht wird immer noch der
> Gradient:
>  
> [mm]g(\vec{r})=ln|\vec{r}|=ln\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/mm]
>  
> [mm]\frac{\partial r}{\partial x}ln\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}*1=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}[/mm]

das macht so keinen Sinn. Gesucht sind die partiellen Ableitungen von [mm] $g(\vec [/mm] r)$, also für die erste Komponente des Gradienten:
[mm] $\frac{\partial g(\vec r)}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\ln(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$ [/mm]
Bei den Ableitungen ist die Kettenregel zu beachten.

>  
> [mm]\frac{\partial r}{\partial y}ln\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}*1=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}[/mm]
>  
> [mm]\frac{\partial r}{\partial z}ln\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}*1=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] grad
> [mm]g(\vec{r})=\vektor{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}[/mm]
>  
> Stimmt das? sieht ein wenig komisch aus :/

Gruß,

notinX

Bezug
                                                                
Bezug
Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Do 16.04.2015
Autor: Skyrula

Ich habe echt mein Bestes getan um die Funktion partiell und mit Kettenregel abzuleiten und euch alles gezeigt. Ich verdrehe da was oder mache sonst was falsch, also über den nächsten Schritt hin zu Lösung würde ich mich grade wirklich freuen.

$ [mm] \frac{\partial g(\vec r)}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\ln(\sqrt{x^2+y^2+z^2}) [/mm] $


Bezug
                                                                        
Bezug
Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Do 16.04.2015
Autor: notinX


> Ich habe echt mein Bestes getan um die Funktion partiell
> und mit Kettenregel abzuleiten und euch alles gezeigt. Ich
> verdrehe da was oder mache sonst was falsch, also über den
> nächsten Schritt hin zu Lösung würde ich mich grade
> wirklich freuen.
>  
> [mm]\frac{\partial g(\vec r)}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\ln(\sqrt{x^2+y^2+z^2})[/mm]
>  
>  

Es gilt: [mm] $g(\vec [/mm] r)=u(v(w(x,y,z)))$, mit [mm] $u(v)=\ln(v(w))$, $v(w)=\sqrt{w}$ [/mm] und [mm] $w(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ [/mm]
Nach der Kettenregel gilt:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}g(\vec r)=\frac{\partial}{\partial v}u(v(w(x,y,z)))\cdot\frac{\partial}{\partial w}v(w(x,y,z))\cdot\frac{\partial}{\partial x}w(x,y,z)$ [/mm]
Alles klar?

Gruß,

notinX

Bezug
                                                                                
Bezug
Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Do 16.04.2015
Autor: Skyrula

ja, vielen Dank für deine Hilfe!

Bezug
                                                                                        
Bezug
Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Do 16.04.2015
Autor: notinX


> ja, vielen Dank für deine Hilfe!

Gern geschehn. Wenn Du keine Antwort erwartest, solltest Du aber lieber eine Mitteilung statt eine Frage stellen.

Gruß,

notinX

PS: Wenn Du Dein Ergebnis zeigst, können wir Dir sagen, ob es stimmt.

Bezug
                                                                                                
Bezug
Gradient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:47 Sa 18.04.2015
Autor: Skyrula

Habs schon mit meinen Freunden abgeglichen! Aber danke für das Angebot ;-)

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