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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Gradient
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Gradient: Gradient von 1/r
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Mo 10.03.2008
Autor: uffisch

Hi zusammen,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

In meinem Physikbuch (Demtröder Exp-Phys II, Seite 14) geht es um das
Dipolpotential und es wird behauptet, dass gilt:
grad(1/r) = [mm] -\vec{r}/(r^3) [/mm]
was ich aber nicht nachvollziehen kann. Es ist doch

grad(1/r) = [mm] \vektor{ {\bruch{\partial (1/r)}{\partial x }} \\ {\bruch{\partial (1/r)}{\partial y }} \\ {\bruch{\partial (1/r)}{\partial z }} } [/mm]

denn so ist ja der Gradient definiert. Nun kann ich natürlich erstmal nicht partiell nach x,y,z ableiten, da der Term nur in Abhängigkeit von r ist. Also hab ich mir überlegt, dass man r doch auch als r = [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] angeben kann.
Partielle Differentiation ergibt aber bei mir z.b.:

[mm] \bruch{\partial (1/\wurzel{x^2+y^2+z^2})}{\partial x} [/mm] = - [mm] \bruch{x}{(x^2+y^2+z^2)^{1.5}} [/mm] = - [mm] \bruch{x}{r^{1,5}} [/mm]

was dann insgesamt ergibt: grad(1/r) = - [mm] \bruch{\vec{r}}{r^{1,5}} [/mm] aber nicht das gewünschte Ergebnis ist. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen? Bin mir eigentlich recht sicher, dass ich zumindest beim Differnzieren keinen Fehler gemacht hab, oder darf ich den Ansatz mit [mm] r=\wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] nicht machen. Aber wie dann?

Vielen Dank, Daniel Weber

        
Bezug
Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Mo 10.03.2008
Autor: rainerS

Hallo Daniel!

> Hi zusammen,
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> In meinem Physikbuch (Demtröder Exp-Phys II, Seite 14) geht
> es um das
>  Dipolpotential und es wird behauptet, dass gilt:
> grad(1/r) = [mm]-\vec{r}/(r^3)[/mm]
>  was ich aber nicht nachvollziehen kann. Es ist doch
>  
> grad(1/r) = [mm]\vektor{ {\bruch{\partial (1/r)}{\partial x }} \\ {\bruch{\partial (1/r)}{\partial y }} \\ {\bruch{\partial (1/r)}{\partial z }} }[/mm]
>  
> denn so ist ja der Gradient definiert. Nun kann ich
> natürlich erstmal nicht partiell nach x,y,z ableiten, da
> der Term nur in Abhängigkeit von r ist. Also hab ich mir
> überlegt, dass man r doch auch als r = [mm]\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
> angeben kann.
>  Partielle Differentiation ergibt aber bei mir z.b.:
>  
> [mm]\bruch{\partial (1/\wurzel{x^2+y^2+z^2})}{\partial x}[/mm] = -
> [mm]\bruch{x}{(x^2+y^2+z^2)^{1.5}}[/mm] = - [mm]\bruch{x}{r^{1,5}}[/mm]

Der letzte Schritt ist falsch, denn

[mm] -\bruch{x}{(x^2+y^2+z^2)^{1.5}} = - \bruch{x}{(\red{r^2})^{1,5}} = - \bruch{x}{r^3} [/mm]

und dann passt's wieder.

Übrigens kann dein Ergebnis schon deswegen nicht stimmen, weil der Gradient von 1/r die Dimension [mm] $\text{(Länge)}^{-2}$ [/mm] haben muss.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Gradient: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:32 Mo 10.03.2008
Autor: uffisch

Vielen Dank,

sorry hab ich übersehen *schäm*

Liebe Grüße, Daniel

Bezug
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