Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Di 17.02.2009 | | Autor: | prfk |
Hallo
Der Gradient ist ein Differentialoperator. Er bildet die partille Ableitung einer Funktion.
Ich bin mir nicht sicher, ob es dir weiterhilft, wenn du versuchst dir das ganze Bildlich zu veränschaulichen. Spätestens, wenn du im [mm] \IR^{n} [/mm] arbeitest, ist das ganze sowieso hinfällig. Das Beispiel mit dem Berg finde ich zumindest für den dreidimensionalen Raum ganz anschaulich. Stell dir vor du hast eine Landkare mit Höhenlinien. Und der Gradient zeigt nun egal an welchem Punkt immer in die Richtung, wo diese Linien am dichtesten sind.
Ich hoffe das Hilft die ein bisschen weiter.
Gruß
prfk
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Stell dir vor du hast eine Landkare mit Höhenlinien. Und
> der Gradient zeigt nun egal an welchem Punkt immer in die
> Richtung, wo diese Linien am dichtesten sind.
Hmm, wieso in die Richtung, wo die Höhenlinien am dichtesten sind?
Ich kenne das so, dass die höchste Stelle immer die innerste Höhenlinie (in einer Schar von Höhenlinien) ist.
Wie dicht die anderen Höhenlinien darum sind, ist doch wuscht, oder?
[Naja, ist wahrscheinlich nicht ganz so wichtig  ]
Ich hab Probleme mir vorzustellen, wie der Gradient in diese Richtung zeigen soll.
Also das ist ja ein Vektor.
Liegt der parallel zur x-y-Ebene und zeigt dann in die Richtung?
Oder liegt er schief im Raum und zeigt dann in die Richtung?
Wie lang ist er?
Vom Punkt, an dem ich den Gradient bilde, bis zum höchsten Punkt?
Hat vielleicht jemand ein kleines Bild mit einer Gebirgslandschaft und einem Gradienten?
LG, Nadine
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> Hallo!
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> > Stell dir vor du hast eine Landkare mit Höhenlinien. Und
> > der Gradient zeigt nun egal an welchem Punkt immer in die
> > Richtung, wo diese Linien am dichtesten sind.
>
> Hmm, wieso in die Richtung, wo die Höhenlinien am
> dichtesten sind?
> Ich kenne das so, dass die höchste Stelle immer die
> innerste Höhenlinie (in einer Schar von Höhenlinien) ist.
Das ist auch richtig so.
> Wie dicht die anderen Höhenlinien darum sind, ist doch
> wuscht, oder?
> [Naja, ist wahrscheinlich nicht ganz so wichtig ]
>
Je dichter die Höhenlinien werden, desto steiler wird es. Jede Höhenlinie steht ja für eine bestimmte Höhe.
Stelle dir jetzt mal vor alle 100 Höhenmeter gibt es eine neue Linie. Hast du jetzt einen Berg, der ziemlich steil 1000m hochgeht, so musst du 10 Linien auf sehr begrenztem Raum zeichnen, demzufolge also sehr eng.
Hast du hingegen eine Landschaft die sehr eben ist, so musst du nur in großen Abständen eine Linie zeichnen.
> Ich hab Probleme mir vorzustellen, wie der Gradient in
> diese Richtung zeigen soll.
> Also das ist ja ein Vektor.
> Liegt der parallel zur x-y-Ebene und zeigt dann in die
> Richtung?
Ja!
[mm] \Nabla f(x_0,y_0) [/mm] ist ein Vektor, der in dem Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] anfängt.
Beispiel: [mm] f(x,y)=x^2+y^2
[/mm]
Dann liegt im Punkt (2,2) der Gradientenvektor (4,4)
> Oder liegt er schief im Raum und zeigt dann in die
> Richtung?
> Wie lang ist er?
Der Betrag des Vektors entspricht der Steiungsstärke.
> Vom Punkt, an dem ich den Gradient bilde, bis zum höchsten
> Punkt?
>
> Hat vielleicht jemand ein kleines Bild mit einer
> Gebirgslandschaft und einem Gradienten?
>
Auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia gibt es zwei, allerdings nur in "2D".
> LG, Nadine
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > Ich hab Probleme mir vorzustellen, wie der Gradient in
> > diese Richtung zeigen soll.
> > Also das ist ja ein Vektor.
> > Liegt der parallel zur x-y-Ebene und zeigt dann in die
> > Richtung?
>
> Ja!
Aber wie funktioniert das dann beim Gradientenverfahren?
Da gehe ich ja solange in Richtung des steilsten Abstiegs (ist ja eigentlich egal ob Anstieg oder Abstieg), bis ich im Minimum angekommen bin.
Aber wenn der Gradient immer parallel zur x-y-Ebene liegt, und ich am Gradienten entlang gehe, wie kann ich dann jemals im Minimum ankommen?
Ich würde mich ja dann nicht aus der Parallelen zur x-y-Ebene rausbewegen ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
LG, Nadine
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> Aber wie funktioniert das dann beim Gradientenverfahren?
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> Da gehe ich ja solange in Richtung des steilsten Abstiegs
> (ist ja eigentlich egal ob Anstieg oder Abstieg), bis ich
> im Minimum angekommen bin.
>
> Aber wenn der Gradient immer parallel zur x-y-Ebene liegt,
> und ich am Gradienten entlang gehe, wie kann ich dann
> jemals im Minimum ankommen?
>
> Ich würde mich ja dann nicht aus der Parallelen zur
> x-y-Ebene rausbewegen
Hallo,
laß uns bei einer Funktion in Abhängigkeit von x und y und dem über der xy-Ebenen aufgebauten Funktionengebirge bleiben.
Über die Landkarte mit den Höhenlinien wurde in dieser Diskussion ja schon gesprochen.
Man muß sich klarmachen, was mit "der Gradient zeigt in die Richtung des stärksten Abstiegs" gemeint ist: er zeigt, in welcher Himmelsrichtung dieser stärkste Abstieg liegt, ob ich mich also nach Süden oder eher nach Nordwesten bewegen soll. Der Gradient zeigt also nicht in den Himmel oder in die Tiefe, sondern er zeigt die "Himmelsrichtung", in welche man gehen muß.
Wenn Du Dir nun einen Punkt auf der Landkarte suchst und immer in Richtung des stärksten Abstieges gehst, wirst Du irgendwann in einer Talsohle landen - bzw. Dein Stift wird an der Stelle der Landkarte landen, über welcher sich die Talsohle befindet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela,
> Man muß sich klarmachen, was mit "der Gradient zeigt in die
> Richtung des stärksten Abstiegs" gemeint ist: er zeigt, in
> welcher Himmelsrichtung dieser stärkste Abstieg liegt, ob
> ich mich also nach Süden oder eher nach Nordwesten bewegen
> soll. Der Gradient zeigt also nicht in den Himmel oder in
> die Tiefe, sondern er zeigt die "Himmelsrichtung", in
> welche man gehen muß.
Ok, das habe ich verstanden.
Der Gradient ist also ein Vektor, der paralell zur x-y-Ebene liegt, richtig?
Und wie weit zeigt der Gradient in die Himmelsrichtung, in der die Tiefe liegt?
Endet die Spitze des Vektors genau über der tiefsten Stelle?
> Wenn Du Dir nun einen Punkt auf der Landkarte suchst und
> immer in Richtung des stärksten Abstieges gehst, wirst Du
> irgendwann in einer Talsohle landen
Ach so, heißt das, wenn ich in Richtung des stärksten Abstiegs gehe, dass ich dann nicht auf dem Gradienten entlang laufe, sondern dass ich auf meiner Berglandschaft (also auf meinen Funktionsteppich, mal hoch, mal wieder runter) in die Richtung laufe, in die der Gradient zeigt?
Woher weiß ich dann, wann ich im Ziel bin?
Ist dann der Gradient der Nullvektor?
Was ist, wenn ich mehrere Minima habe?
Zeigt der Gradient dann zum globalen Minimum?
Oder eher zum nächst gelegenen Minimum, evtl. auch ein lokales?
> - bzw. Dein Stift wird
> an der Stelle der Landkarte landen, über welcher sich die
> Talsohle befindet.
Hmm, was meinst du damit?
LG, Nadine
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> Ok, das habe ich verstanden.
> Der Gradient ist also ein Vektor, der paralell zur
> x-y-Ebene liegt, richtig?
Genau.
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> Und wie weit zeigt der Gradient in die Himmelsrichtung, in
> der die Tiefe liegt?
Die Länge des Vektors hat mit der Stärke des Anstiege zu tun. Sie sagt Dir nicht, wie weit Du gehen mußt.
> Endet die Spitze des Vektors genau über der tiefsten
> Stelle?
Nein. Eine gebirgslandschaft ist mal steile, mal flacher, und der Gradient andert sich u.U. an jeder Stelle.
>
>
> > Wenn Du Dir nun einen Punkt auf der Landkarte suchst und
> > immer in Richtung des stärksten Abstieges gehst, wirst Du
> > irgendwann in einer Talsohle landen
>
> Ach so, heißt das, wenn ich in Richtung des stärksten
> Abstiegs gehe, dass ich dann nicht auf dem Gradienten
> entlang laufe, sondern dass ich auf meiner Berglandschaft
> (also auf meinen Funktionsteppich, mal hoch, mal wieder
> runter) in die Richtung laufe, in die der Gradient zeigt?
Ja. Ungefähr so, wei wenn man mit Hilfe des Kompasses wandert.
>
> Woher weiß ich dann, wann ich im Ziel bin?
> Ist dann der Gradient der Nullvektor?
Genau. Wenn es keine Abstiegsrichtung mehr gibt, mußt Du ja am tiefsten Punkt angekommen sein.
>
> Was ist, wenn ich mehrere Minima habe?
Dann kommst Du mit der Gradientenmethode zu irgendeinem dieser Minima, wahrscheinlich zu einem, was in der Nähe des Startpunktes liegt.
> Zeigt der Gradient dann zum globalen Minimum?
Nein, nicht unbedingt. Wenn in Bonn stehst, wird Dir der Gradient nicht unbedingt den Weg zum Toten Meer weisen, sondern vielleicht eher in Richtung Rhein zeigen. Und wenn Du dem Gradienten konsequent folgst, landest Du vermutlich an der Nordsee.
> Oder eher zum nächst gelegenen Minimum, evtl. auch ein
> lokales?
Genau.
> > - bzw. Dein Stift wird
> > an der Stelle der Landkarte landen, über welcher sich die
> > Talsohle befindet.
>
> Hmm, was meinst du damit?
Wenn Du nicht wanderst, sondern mit dem Finger oder Stift die Landkarte entlangspazierst, landest Du an einer Stelle, an der ein lokales Minimum ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela.
Das ist mir jetzt klar, danke.
Allerdings verstehe ich nun die zum Gradientenverfahren gehörige Iterationsformel überhaupt nicht
Sie lautet ja: [mm] x^{k+1}=x^k+\lambda(x^k,r^k)*r^k
[/mm]
Dabei ist [mm] \lambda [/mm] glaub ich ein Parameter, der die Schrittweite angibt, und [mm] r^k:=b-Ax^k.
[/mm]
Und dieses [mm] b-Ax^k [/mm] ist ja genau der Gradient des Standardfunktionals [mm] F(x)=\bruch{1}{2}*-, [/mm] also die Richtung des steilsten Anstiegs.
So, aber wenn ich mir jetzt mal diese Iterationsvorschrift ansehe, und versuche sie geometrisch als Vektoraddition zu interpretieren, komme ich nicht zum Minimum
Also ich wähle ja einen willkührlichen Startpunkt [mm] x^0.
[/mm]
Nun sagt die Formel: Mein neues x ist mein altes x addiert mit einem Vielfaches des Gradienten.
Geometrisch:
1) Ich zeichne einen Ortsvektor zu meinem Punkt [mm] x_0.
[/mm]
2) Zu diesem Punkt berechne ich den Gradientenvektor und mulipliziere ihn mit [mm] \lambda [/mm] (also stauche oder strecke ihn).
3) Den modifizierten Gradientenvektor (der ja immer noch parallel zu x-y-Ebene ist im [mm] \IR^3 [/mm] ) zeichne ich jetzt an meinem Punkt [mm] x^0
[/mm]
4) Am Ende der beiden zusammenhängenden Vektoren befindet sich der neue Punkt [mm] x^{k+1}
[/mm]
Aber wenn ich das so mache, dann befinde ich mich ja immer in einer paralellen Ebene zur x-y Ebene, in der mein Startvektor [mm] x^0 [/mm] liegt, weil der Gradient ja nicht in den Himmel bzw. ins Tal zeigt.
Und dann komme ich doch nie im Minimum an...
Was mach ich falsch?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Sa 21.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du machst falsch, dass du in der landschaft gehst und nicht auf der Landkarte. Dein Vektor liegt ja nicht im Raum, sondern in der x-y Ebene. ueber z, also die Hoehe sagt er nichts.
wenn du ihm immer brav folgst landest du an der Stelle x,y deiner Landkarte, wo ein relatives Minimum ist. Wenn du in der echten Landschaft gehst gibt dir nur die Groesse des grad an, wie steil du grad gehst, inm uebrigen nur in welcher Kompassrichtung du gehen musst. Wenn du so gehst landest du im lokal tiefsten Punkt. Die "Hoehenmessung musst du dann noch extra machen, also f(x,y)=H an dieser Stelle bestimmen.
Wenn du 1d ableitest und f'=0 setzt, weisst du ja auch nicht, wie hoch oder tief dein min ist.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 So 22.02.2009 | | Autor: | Pacapear |
> Hallo
> Du machst falsch, dass du in der landschaft gehst und
> nicht auf der Landkarte. Dein Vektor liegt ja nicht im
> Raum, sondern in der x-y Ebene. ueber z, also die Hoehe
> sagt er nichts.
> wenn du ihm immer brav folgst landest du an der Stelle x,y
> deiner Landkarte, wo ein relatives Minimum ist. Wenn du in
> der echten Landschaft gehst gibt dir nur die Groesse des
> grad an, wie steil du grad gehst, inm uebrigen nur in
> welcher Kompassrichtung du gehen musst. Wenn du so gehst
> landest du im lokal tiefsten Punkt. Die "Hoehenmessung
> musst du dann noch extra machen, also f(x,y)=H an dieser
> Stelle bestimmen.
> Wenn du 1d ableitest und f'=0 setzt, weisst du ja auch
> nicht, wie hoch oder tief dein min ist.
> gruss leduart
Hallo Leduart,
Hmm, irgendwie hilft mir deine Antwort irgendwie gar nicht weiter
Also ich hab ja jetzt schon verstanden, dass der Gradient parallel zur x-y-Ebene liegt (warum schreibst du eigentlich in der x-y-Ebene?) und dass er nur die Himmelsrichtung angibt, in der mein Minimum liegt.
Und ich hab verstanden, dass wenn ich in Richtung des Gradienten gehe, dass ich dann über meine Hügellandschaft wandere, und zwar in der Himmelsrichtung, die mein Gradient vorgibt.
Das war eigentlich auch gar nicht meine Frage.
Ich verstehe nicht, warum bei der Umsetzung der Formel fürs Gradientenverfahren meine geometrische Vorstellung der Vektoraddition nicht ans Ziel führt.
Dort benutze ich ja den Gradienten selbst (also den Zeiger in die Himmelsrichtung), und zwar ausgehend von dem Punkt, den ich als Startvektor gwählt habe.
Und da der ja parallel zur x-y-Ebene liegt, ergibt sich bei der Vektoraddition mein Problem, dass ich aus der paralellen Ebene niemals rauskomme
Also mir ist das Gradientenverfahren so inhaltlich (also worums geht) denke ich klar geworden.
Was halt hakt, ist die Formelumsetzung.
Also für mich sind "in Richtung des steilsten Abstiegs zeigen" und "in Richtung des steilsten Abstiegs laufen" zwei verschiedene Sachen, aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass das irgendwie nicht so ist...
LG, Nadine
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> Ich verstehe nicht, warum bei der Umsetzung der Formel fürs
> Gradientenverfahren meine geometrische Vorstellung der
> Vektoraddition nicht ans Ziel führt.
>
> Dort benutze ich ja den Gradienten selbst (also den Zeiger
> in die Himmelsrichtung), und zwar ausgehend von dem Punkt,
> den ich als Startvektor gwählt habe.
>
> Und da der ja parallel zur x-y-Ebene liegt, ergibt sich bei
> der Vektoraddition mein Problem, dass ich aus der
> paralellen Ebene niemals rauskomme
Hallo,
bleiben wir bei der Landkarte.
Das Verfahren führt Dich an die Stelle [mm] (x_m, y_m) [/mm] der Landkarte, an welcher in der Natur ein Minimum ist.
Die dazu passende Höhe [mm] z_m [/mm] mußt Du noch ausrechnen, [mm] z_m=f(x_m, y_m). [/mm] Die Koordinaten im Minimum sind [mm] (x_m, y_m, f(x_m, y_m)).
[/mm]
Das ist doch bei Funktionen in Abhängigkeit von eienr variablen nicht anders. Wenn Du ein Minimum bei x=5 errechnet hast, hat der zugehörige Punkt die Koordinaten (5, f(5)).
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 22.02.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> Hallo,
>
> bleiben wir bei der Landkarte.
>
> Das Verfahren führt Dich an die Stelle [mm](x_m, y_m)[/mm] der
> Landkarte, an welcher in der Natur ein Minimum ist.
>
> Die dazu passende Höhe [mm]z_m[/mm] mußt Du noch ausrechnen,
> [mm]z_m=f(x_m, y_m).[/mm] Die Koordinaten im Minimum sind [mm](x_m, y_m, f(x_m, y_m)).[/mm]
>
>
> Das ist doch bei Funktionen in Abhängigkeit von eienr
> variablen nicht anders. Wenn Du ein Minimum bei x=5
> errechnet hast, hat der zugehörige Punkt die Koordinaten
> (5, f(5)).
>
> Gruß v. Angela
Ist die Landkarte die x-y-Ebene?
Heißt das, ich arbeite beim Gradientenverfahren nur in dieser Landkarten-Ebene, und nicht in einer dazu paralellen Ebene, die auf Höhe meines Startvektors liegt?
Weil wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist der Startvektor ein Punkt irgendwo in der Landschaft, und liegt nicht auf der Landkarten-Ebene.
[Zumindst in den Bildern, die mein Prof an die Tafel gezeichnet hat, aber da zeigt der Gradient auch nach unten und liegt nicht parallel ]
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 So 22.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der grad liegt, da er 2d ist immer auf der landkarte.
Man kann allerdings seine Richtung auch in die landschaft zeichnen. so wie due einen Pfeil, oder ein Stueck Strasse) der auf deiner Landkarte steht, in die Natur uebertragen kann. und wenn da die strasse grad nach unten geht, zeigt halt der Pfeil auch nach unten. gerechnet wird er aber auf der landkarte.
strassenbauer koennen doch ne strasse auf ne karte zeichnen, und sie spaeter auf ein Profilbild uebertragen, das hat euer prof gemacht, in der Hoffnung, dass ihr dann besser seht, dass er an der steilsten stelle runter geht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 22.02.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo leduart!
> Der grad liegt, da er 2d ist immer auf der
Landkarte.
Aber als ich weiter oben gefragt habe, ob ich das richtig verstanden habe, dass der Gradient parallel zur landkarte (also zur x-y-Ebene) liegt, hat mir Angela gesagt, dass das richtig wäre.
Was stimmt nun?
Wenn ich ausgehend von einem Punkt einen Gradienten berechnen will, suche ich dann
1) den Punkt auf der Landkarte (x-y-Ebene) und berechne von da aus den Gradienten?
2) den Punkt in der Hügellandschaft (x-y-z-Ebene) und berechne von da aus den Gradienten?
Irgendwo weiter vorn hat man mir gesagt, man zeichnet den Gradienten dann an den angewählten Punkt an.
Im Fall 1) läge der Gradient dann in der x-y-Ebene und im Fall 2) in einer parallelen Ebene zur x-y-Ebene.
Was stimmt nun?
> Man kann allerdings seine Richtung auch in die landschaft
> zeichnen. so wie due einen Pfeil, oder ein Stueck Strasse)
> der auf deiner Landkarte steht, in die Natur uebertragen
> kann. und wenn da die strasse grad nach unten geht, zeigt
> halt der Pfeil auch nach unten. gerechnet wird er aber auf
> der landkarte.
Hmm, weiter vorn hat Angela mir gesagt, dass der Gradient immer nur in die Himmelsrichtungen zeigt, und nie in den Himmel oder ins Tal.
Warum kann ich ihn dann doch nach unten zeichen?
> strassenbauer koennen doch ne strasse auf ne karte
> zeichnen, und sie spaeter auf ein Profilbild uebertragen,
> das hat euer prof gemacht, in der Hoffnung, dass ihr dann
> besser seht, dass er an der steilsten stelle runter geht.
Meinst du damit, dass ich meinen Pfeil nehme und ihn dann auf meine Landschaft drücke, so dass er Erhebungen und Vertiefungen bekommt?
Hmm, irgendwie ist das alles ganz schön kompliziert...
LG, Nadine
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> Hallo leduart!
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> > Der grad liegt, da er 2d ist immer auf der
> Landkarte.
>
> Aber als ich weiter oben gefragt habe, ob ich das richtig
> verstanden habe, dass der Gradient parallel zur landkarte
> (also zur x-y-Ebene) liegt, hat mir Angela gesagt, dass das
> richtig wäre.
>
> Was stimmt nun?
Hallo,
s.u.
Der Gradient hat doch nur zwei Komponenten.
>
> Wenn ich ausgehend von einem Punkt einen Gradienten
> berechnen will, suche ich dann
> 1) den Punkt auf der Landkarte (x-y-Ebene) und berechne
> von da aus den Gradienten?
Zu jedem Punkt der x,y- Ebene gehört ein Vektor, nämlich der Gradient an dieser Stelle, (grad f)(x,y)
> 2) den Punkt in der Hügellandschaft (x-y-z-Ebene) und
> berechne von da aus den Gradienten?
Ich weiß nicht genau, was Du mit "von hier aus" meinst.
> Irgendwo weiter vorn hat man mir gesagt, man zeichnet den
> Gradienten dann an den angewählten Punkt an.
> Im Fall 1) läge der Gradient dann in der x-y-Ebene und im
> Fall 2) in einer parallelen Ebene zur x-y-Ebene.
>
> Was stimmt nun?
Ersteres. Da der Gradient nur zwei Komponenten hat, ist es doch augenfällig, daß er nicht im Raum spielt.
>
>
>
> > Man kann allerdings seine Richtung auch in die landschaft
> > zeichnen. so wie due einen Pfeil, oder ein Stueck Strasse)
> > der auf deiner Landkarte steht, in die Natur uebertragen
> > kann. und wenn da die strasse grad nach unten geht, zeigt
> > halt der Pfeil auch nach unten. gerechnet wird er aber auf
> > der landkarte.
>
> Hmm, weiter vorn hat Angela mir gesagt, dass der Gradient
> immer nur in die Himmelsrichtungen zeigt, und nie in den
> Himmel oder ins Tal.
>
> Warum kann ich ihn dann doch nach unten zeichen?
Was Du dann einzeichnest, ist nicht der Gradient, sondern die Gehrichtung.
Ich glaube, daß Event_Horizons Beispiel für Dich wirklich nützlich ist.
Berg und Tal scheint Dich eher zu verwirren als zu erhellen.
Gruß v. Angela
>
>
>
> > strassenbauer koennen doch ne strasse auf ne karte
> > zeichnen, und sie spaeter auf ein Profilbild uebertragen,
> > das hat euer prof gemacht, in der Hoffnung, dass ihr dann
> > besser seht, dass er an der steilsten stelle runter geht.
>
> Meinst du damit, dass ich meinen Pfeil nehme und ihn dann
> auf meine Landschaft drücke, so dass er Erhebungen und
> Vertiefungen bekommt?
>
>
>
> Hmm, irgendwie ist das alles ganz schön kompliziert...
>
> LG, Nadine
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>> Der Gradient liegt, da er 2d ist immer auf der
>> Landkarte.
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> Aber als ich weiter oben gefragt habe, ob ich das richtig
> verstanden habe, dass der Gradient parallel zur Landkarte
> (also zur x-y-Ebene) liegt, hat mir Angela gesagt, dass das
> richtig wäre.
>
> Was stimmt nun?
>
> Wenn ich ausgehend von einem Punkt einen Gradienten
> berechnen will, suche ich dann
> 1) den Punkt auf der Landkarte (x-y-Ebene) und berechne
> von da aus den Gradienten?
> 2) den Punkt in der Hügellandschaft (x-y-z-Ebene) und
> berechne von da aus den Gradienten?
>
> Irgendwo weiter vorn hat man mir gesagt, man zeichnet den
> Gradienten dann an den angewählten Punkt an.
> Im Fall 1) läge der Gradient dann in der x-y-Ebene und im
> Fall 2) in einer parallelen Ebene zur x-y-Ebene.
>
> Was stimmt nun?
Hallo Nadine,
ich bewundere deine Art, genau nachzufragen! Du suchst
wirklich präzise geometrische Anschauung. Das gefällt mir.
Bei der vorliegenden Frage kannst du jedoch daran denken,
dass Vektoren grundsätzlich erst mal beliebig parallel
verschoben werden dürfen (***). Bei einem Parallelogramm ABCD
ist z.B. [mm] \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}, [/mm] obwohl die Pfeile [mm] \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} [/mm] an verschiedenen
Orten eingezeichnet sind. Insofern spielt es eigentlich gar
keine Rolle, ob du dir den Gradientenvektor z.B. auf einer
"Landkarte" auf Meereshöhe z=0 oder in einer Parallelebene
dazu auf der Höhe z des aktuell betrachteten Flächenpunktes
vorstellt.
LG Al
(***) Vor allem in der Physik (Mechanik) unterscheidet man
allerdings manchmal zwischen "freien" und "gebundenen" Vektoren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 So 22.02.2009 | | Autor: | prfk |
Hallo
Wenn du eine Funktion f(x,y) hast dann befindest du dich nur im zweidimensionalen Raum. Auch das Plotten der Funktion (Hügellandschaft) ändert daran nichts. Die Funktionswert, der dir die z-Komponente liefert, ist keine Koordinate.
Dein Raum ist und bleibt daher zweidimensional und so kann ein gradient auch nur zwei Koordinaten haben. Er Muss daher in der x-y-Eben liegen.
Gruß
prfk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 So 22.02.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo prfk!
Leider verstehe ich deine Antwort gar nicht
> Wenn du eine Funktion f(x,y) hast dann befindest du dich
> nur im zweidimensionalen Raum. Auch das Plotten der
> Funktion (Hügellandschaft) ändert daran nichts. Die
> Funktionswert, der dir die z-Komponente liefert, ist keine
> Koordinate.
Wieso befinde ich mich im zweidimensionalen Raum?
Eine Funktion f(x,y) kann ich doch nur im [mm] \IR^3 [/mm] zeichen, und das ist doch dreidimensional.
Nur mein Ausgangsraum ist zweidimensional.
> Dein Raum ist und bleibt daher zweidimensional und so kann
> ein gradient auch nur zwei Koordinaten haben. Er Muss daher
> in der x-y-Eben liegen.
Wieso muss er?
Als ich im vorherigem Verlauf gefragt habe, ob ich das richtig verstanden habe, dass der Gradient paralell zur x-y-Ebene liegt, hat man mir gesagt, dass das richt wäre ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 So 22.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Nehmen wir an, D [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] und f:D --> [mm] \IR [/mm] sei partiell differenzierbar in [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] D
Dann ist [mm] gradf(x_0,y_0) [/mm] ein Element des [mm] \IR^2
[/mm]
Das ist alles
FRED
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> > Wenn du eine Funktion f(x,y) hast dann befindest du dich
> > nur im zweidimensionalen Raum. Auch das Plotten der
> > Funktion (Hügellandschaft) ändert daran nichts. Die
> > Funktionswert, der dir die z-Komponente liefert, ist keine
> > Koordinate.
>
> Wieso befinde ich mich im zweidimensionalen Raum?
> Eine Funktion f(x,y) kann ich doch nur im [mm]\IR^3[/mm] zeichen,
> und das ist doch dreidimensional.
> Nur mein Ausgangsraum ist zweidimensional.
Hallo,
ich hatte es zuvor schon gesagt: geh zurüch zu dem, was Du kennst, zu Funktionen über [mm] \IR.
[/mm]
Wenn Du hier Extremwerte bestimmst, bekommst Du doch auch z.B. [mm] x_{min}=5. [/mm] Das ist die Stelle des Minimums. Der entsprechende Punkt auf dem Graphen ist (5, f(5)).
Wenn Deine Funktion nun aus dem [mm] \IR^2 [/mm] heraus abbildet, ist die Stelle des Minimums im [mm] \IR^2, [/mm] sagen wir (1,2).
Der Punkt auf dem Graphen hat natürlich drei Koordinaten, nämlich( 1,2, f(1,2)).
> > Dein Raum ist und bleibt daher zweidimensional und so kann
> > ein gradient auch nur zwei Koordinaten haben. Er Muss daher
> > in der x-y-Eben liegen.
>
> Wieso muss er?
> Als ich im vorherigem Verlauf gefragt habe, ob ich das
> richtig verstanden habe, dass der Gradient paralell zur
> x-y-Ebene liegt, hat man mir gesagt, dass das richt wäre
>
>
Wenn er in der xy-Ebene liegt, ist er doch parallel zu ihr.
Gruß v. Angela
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Hallo!
Als ich mir eben ein Ei gebraten habe, ist mir ein besseren Beispiel als das mit dem Gebirge eingefallen. Deshalb schreib ich das mal unabhängig vom Rest hier rein.
Das Hauptproblem ist anscheinend, daß du hier immer wieder von der Gebirge-Vorstellung zum dreidimensionalen Denken getrieben wirst...
Stell dir stattdessen eine Oberfläche (Metallplatte) mit einer Temperaturverteilung vor. Manche Stellen werden jetzt irgendwie erwärmt, und die Wärme breitet sich in alle Richtungen in der Platte aus. Andere Stellen werden permament gekühlt, sodaß die Platte dort und in der Umgebung kälter ist.
Du kannst jetzt jedem Punkt (x;y) auf der Platte eine Temperatur t(x;y) zuweisen.
Der Gradient gibt dir dann an, in welche Richtung die Wärme an einer bestimmten Stelle fließt, und das ist die Richtung, in der sich die Temperatur am stärksten ändert (Die Wärme will immer dahin, wo es am kältesten ist!).
Weiterhin gibt dir der Betrag des Gradienten (Also die Länge der Vektoren) noch an, WIE stark sich die Temperatur in der Richtung ändert.
Du siehst, alles nur 2D.
Man kann nun hingehen, und sich die Funktion [mm] \vektor{x\\y\\t(x;y)} [/mm] plotten lassen. Dann bekommt man ein Gebirge, die Höhe ist dann die Temperatur.
Aber das ist nicht "echt" Dreidimensional: x und y bezeichnen eine Längenangabe, und auf der z-Achse liegt nun eine Temperatur. Das ist kein dreidimensionaler Raum mit Länge, Breite und Höhe!
Im Beispiel mit den Bergen ist das etwas verwirrend, denn das Potenzial wird dort über die Höhe angegeben, und dann hat man auf der z-Achse die Höhe...
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> Kann mir jemand erklären, was ein Gradient ist?
> Besonders in geometrischer Hinsicht?
> Ich kann mir darunter nichts vorstellen
>
> Ich weiß nur, dass wenn ich im [mm]\IR^3[/mm] eine Gebirgslandschaft
> habe, in der f(x,y) die Höhen der einzelnen Orte (x,y)
> darstellt, dass dann der Gradient die Richtung des größten
> Abstiegs/Anstiegs ist.
> Aber auch darunter kann ich mir nichts vorstellen.
> In wie fern zeigt ein Vektor in Richtung des steilsten
> Anstiegs?
> Liegt er schief im Raum, liegt er parallel zur x-y-Ebene?
Hallo Nadine,
bei deiner Anfrage ist mir eine Diskussion eingefallen,
die etwa vor einem halben Jahr stattgefunden hat. Dort
habe ich versucht, die Begriffe im Zusammenhang mit
dem Gradienten in einem Bild mit einer hügeligen Land-
schaft plausibel zu machen: Link
Lieben Gruß
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 So 22.02.2009 | | Autor: | Pacapear |
Vielen lieben Dank ihr alle für eure Hilfe!
Ich denke, dass ich das Ganze jetzt einigermaßen verstanden habe *hoffentlich*
Ich werd mir jetzt in meiner Vorlesungsmitschrift nochmal das Gradientenverfahren angucken, und schauen, ob ich es jetzt besser verstehe.
Wenn nicht, werd ich mich bestimmt nochmal melden
LG, Nadine
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