Gradient = 0 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei f: A --> [mm] \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion in der offenen und konvexen Teilmenge A [mm] \subset \IR^d, [/mm] d [mm] \in \IN,d \ge [/mm] 2) mit grad(f(x))=0, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A. Beweisen Sie, dass f eine konstante Funktion ist. |
Was mich hier etwas verwirrt ist, dass hier von einer konvexen Teilmenge gesprochen wird. Reicht für eine konstante Funktion nicht schon aus, dass der Gradient 0 ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Mi 23.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Was mich hier etwas verwirrt ist, dass hier von einer
> konvexen Teilmenge gesprochen wird. Reicht für eine
> konstante Funktion nicht schon aus, dass der Gradient 0
> ist?
Offen und zusammenhängend reicht. Hier hast du mehr - um so besser für dich. Wie beweist du denn, dass der Gradient "reicht"?
SEcki
|
|
|
| |
|
Da grad(f(x))=0 muss jede partielle Ableitung 0 sein. Und zwar an jeder stelle x. Damit lässt es sich ja auf den eindimensionalen fall zurückführen. Dass das bei einer eindimensionalen funktion der fall ist, haben wir schonletztes semester bewiesen.
Lässt sich das so begründen oder übersehe ich ein problem?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mi 23.04.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Also ich würde es so machen.
Ich nehme ein [mm] x_0\in [/mm] A und sage, dass [mm] f(x_0)=b [/mm] ist.
Jetzt kommt ein indirekter Beweis.
Annahme: es gibt ein [mm] x\in [/mm] U, was eine Umgebung von [mm] x_0 [/mm] ist, also auch eine Teilmenge von A mit [mm] f(x)\ne [/mm] b.
Man kommt schnell auf einen Widerspruch, wenn man die Definition des Gradienten anwendet.
Dann ist [mm] f(x)=f(x_0)+\bruch{grad(f(x_0))}{x-x_0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x)=f(x_0). [/mm] Widerspruch zur Vorraussetzung. Als Umgebung, nehmen wir am besten [mm] x\in B_\delta(x_0).
[/mm]
Jetzt muss man noch irgendwie argumentieren, dass das für alle [mm] x\in [/mm] A gilt.
Das macht man irgendwie mit Überdeckungen oder was weiß ich wie.
|
|
|
|
