Gradient, Maximum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:10 Do 05.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ [/mm] eine differenzierbare Funktion. Die Einschränkung von f auf [mm] $D:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2\leq 1\}$ [/mm] habe in dem Randpunkt [mm] $(\cos(\phi_0), \sin(\phi_0))\in [/mm] D$ ein Maximum. Beweisen Sie, dass dann ein [mm] $\lambda\in\mathbb{R}$ [/mm] existiert so, dass
[mm] $\operatorname{grad}f((\cos(\phi_0), \sin(\phi_0))=\lambda\begin{pmatrix}\cos(\phi_0)\\\sin(\phi_0)\end{pmatrix}$
[/mm]
gilt.
Hinweis: Stellen Sie den Gradienten von f in einer geeigneten Basis dar. |
Hi,
ich hätte eine Frage zu dieser Aufgabe.
f eingeschränkt auf D ist ja lediglich ein Kreis mit dem Radius 1. Diesen kann man auch direkt über [mm] $(\cos(\phi), \sin(\phi))$ [/mm] darstellen, also
[mm] $x=\sqrt{\cos(\phi)}$, $y=\sqrt{\sin(phi)}$
[/mm]
Ich soll nun den Gradienten von diesem Randpunkt bestimmen.
Nun habe ich hier doch einen Kreis. Ist dann nicht jeder Punkt auf diesem Kreis automatisch ein Maximum. Die Punkte "unterscheiden" sich ja nicht wirklich auf dem Kreis.
Ich verstehe nicht ganz was hier damit gemeint ist den Gradienten von f in einer geeigneten Basis darzustellen.
Wäre dies der Gedanke mit der Umparameterisierung von x und y?
Naja, wenn ich den Gradienten von f bestimme, und ich diese Umparameterisierung wähle, dann habe ich ja einfach
[mm] $\operatorname{grad}f((\cos(\phi), \sin(\phi))=\begin{pmatrix}-\sin(\phi)\\\cos(\phi)\end{pmatrix}$
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:21 Do 05.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Für [mm] \phi \in \IR [/mm] setze
[mm] $g(\phi):=f(\cos(\phi), \sin(\phi))$
[/mm]
g hat in [mm] \phi_0 [/mm] ein Maximum, also ist [mm] g'(\phi_0)=0
[/mm]
Berechne mal g'
Was der Hinweis mit der Basis soll , ist mir nicht klar.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:28 Do 05.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Also
[mm] $g(\phi)=\cos(\phi)^2+\sin(\phi)^2$
[/mm]
Habe ich dann nur diese Funktion ohne x und y-Koordinate, weil dann wäre die Ableitung ja konstant Null weil diese Funktion auch Konstant 1 ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 Do 05.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also
>
> [mm]g(\phi)=\cos(\phi)^2+\sin(\phi)^2[/mm]
Wie kommst Du auf diesen Unsinn ???
FRED
>
> Habe ich dann nur diese Funktion ohne x und y-Koordinate,
> weil dann wäre die Ableitung ja konstant Null weil diese
> Funktion auch Konstant 1 ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:49 Do 05.06.2014 | | Autor: | YuSul |
[mm] $f(x,y)=x^2+y^2$
[/mm]
Ich habe es nun so verstanden, dass ich für x und y cos, bzw. sin einsetze.
Oder eher
[mm] $g(\phi)=\begin{pmatrix} \cos(\phi)^2\\ \sin(\phi)^2\end{pmatrix}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Do 05.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Du musst, so vermute ich, zurück auf los. Zuerst den Aufgabentext genau lesen.
f ist irgendeine differenzierbare Funktion.
> [mm]f(x,y)=x^2+y^2[/mm]
>
Das ist nur ein Beispiel von unendliche vielen,wie willst Du damit etwas zeigen?
> Nun habe ich hier doch einen Kreis.
Genauer, was meinst Du mit dieser Aussage? Kreislinie, Kreisfläche?
> Ist dann nicht jeder Punkt auf diesem Kreis automatisch ein Maximum.
Ich vermute, dass Du der Meinung bist, dass die Funktion für jeden Punkt auf den Kreis ein Maximum annimmt. Damit unterstellst Du eine Symmetrie, die im Aufgabentext nicht vorkommt. Die Funktion könnte eine Ebene sein $f(x,y) = ax +by, x,y [mm] \in \IR$. [/mm] Wo liegt dann das Maximum?
> Die Punkte "unterscheiden" sich ja nicht wirklich auf dem Kreis.
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 Do 05.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, okay. Ich hatte die Aufgabe tatäschlich etwas missverstanden.
Ich habe eine beliebige differenzierbare Funktion und schränke diese auf den Kreis ein.
[mm] $x^2+y^2\leq [/mm] 1$ ist doch die ganz normale Kreisgleichung, wo soll ich da genauer werden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Do 05.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Das habe ich geschrieben. Du unterscheidest nicht zwischen Kreisfläche und Kreislinie. Das ist aber für diese Aufgabe relevant.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Do 05.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Da es sich hier um eine Ungleichung handelt sollte wohl die Kreisfläche gemeint sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Do 05.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Letzter Hinweis zu diesem Unterthema: lies die Aufgabe genau. Es kommen Kreislinie und Kreisfläche vor.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Do 05.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Und was ist nun der genaue Unterschied zwischen es kommen "Kreislinie und Kreisfläche vor" zu "es handelt sich um einen Kreis"?
[mm] $(\cos(\phi_0),\sin(\phi_0))$ [/mm] ist ein Punkt auf der Kreislinie.
[mm] $D:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2| x^2+y^2\leq 1\}$ [/mm] ist die Kreisfläche.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Do 05.06.2014 | | Autor: | chrisno |
> [mm](\cos(\phi_0),\sin(\phi_0))[/mm] ist ein Punkt auf der
> Kreislinie.
>
> [mm]D:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2| x^2+y^2\leq 1\}[/mm] ist die
> Kreisfläche.
Das Du dieses noch gar nicht in Deine Überlegungen aufgenommen hattest. Nun mach weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Do 05.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Wenn ich wüsste wie, wäre das ganze viel einfacher... :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Do 05.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Machen wirs ausführlicher:
Sei [mm] (x_0,y_0) =(cos(\phi_0), sin(\phi_0)).
[/mm]
Nach Vor. gilt:
f(x,y) [mm] \le f(x_0,y_0) [/mm] für alle (x,y) [mm] \in [/mm] D.
Dann gilt auch
(*) f(x,y) [mm] \le f(x_0,y_0) [/mm] für alle (x,y) [mm] \in $\partial [/mm] D.$
Nun ist [mm] $\{((cos(\phi), sin(\phi)): \phi \in \IR\}= \partial [/mm] D$.
Setzen wir [mm] g(\phi):=f(cos(\phi), sin(\phi)) [/mm] für [mm] \phi \in \IR, [/mm] so folgt aus (*):
[mm] g(\phi) \le g(\phi_0) [/mm] für alle [mm] \phi \in \IR.
[/mm]
Da alle prima differenzierbar ist, ergibt sich
[mm] g'(\phi_0)=0.
[/mm]
Jetzt berechne Du mal (mit der Kettenregel) die Ableitung [mm] g'(\phi).
[/mm]
Beantworte dann die Frage: [mm] \operatorname{grad}f((\cos(\phi_0), \sin(\phi_0)) [/mm] ist orthogonal zu welchem Vektor ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Do 05.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Also
[mm] $g(\phi)=f(\cos(\phi),\sin(\phi))$
[/mm]
Aber wie bilde ich die Ableitung wenn ich nicht weiß wie die Funktion aussieht?
Es ist ja nicht [mm] $f(\cos(\phi),\sin(\phi))=\cos(\phi)^2+\sin(\phi)^2=1$, [/mm] da f ja eine beliebige Funktion ist.
Die Kettenregel im mehrdimensionalen lautet ja
[mm] $D(f\circ g)(x)=\operatorname{Df}(g(x))\cdot \operatorname{Dg}(x)$
[/mm]
So recht verstehe ich nicht wie ich hier die Ableitung bilden soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Do 05.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Schreib hin, was Df bedeutet. Da wo Du die Ableitung nicht kennst, schreibst Du eben [mm] $\br{\partial f}{\partial x}$ [/mm] usw. hin.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:30 Fr 06.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Es war
$ [mm] g(\phi)=f(\cos(\phi),\sin(\phi)) [/mm] $,
also [mm] g(\phi)=f(h(\phi)) [/mm] mit [mm] h(\phi)=(\cos(\phi),\sin(\phi)).
[/mm]
Dann ist [mm] g'(\phi)=f'(h(\phi))*h'(\phi).
[/mm]
Jetzt Du ...
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:55 Fr 06.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich soll nun also eine Orthonormalbasis angeben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:11 Fr 06.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich soll nun also eine Orthonormalbasis angeben?
Nein. Du sollst endlich mal g' berechnen !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:19 Fr 06.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich dachte das hättest du gerade getan...
[mm] $g'(\phi)=f'(h(phi))\cdot h'(\phi)$
[/mm]
Ich soll nun also die Ableitungen $h'$ und [mm] $f'(h(\phi))$ [/mm] angeben?
Ich weiß leider nicht wie. Ich habe [mm] $h(\cos(\phi),\sin(\phi))$. [/mm] Wie ich eine partielle Ableitung bilde ist mir klar. Was mich stutzig macht ist, dass beide Koordinaten von [mm] $\phi$ [/mm] abhängen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Fr 06.06.2014 | | Autor: | hippias |
Worauf Fred97 vielleicht hinaus will, ist, dass $h'$ und $f'(h)$ Vektoren sind und das [mm] $\cdot$ [/mm] fuer das Skalarprodukt steht; eben dieses sollst Du ausschreiben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Fr 06.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich dachte das hättest du gerade getan...
>
> [mm]g'(\phi)=f'(h(phi))\cdot h'(\phi)[/mm]
>
> Ich soll nun also die Ableitungen [mm]h'[/mm] und [mm]f'(h(\phi))[/mm]
> angeben?
> Ich weiß leider nicht wie. Ich habe
> [mm]h(\cos(\phi),\sin(\phi))[/mm]. Wie ich eine partielle Ableitung
> bilde ist mir klar. Was mich stutzig macht ist, dass beide
> Koordinaten von [mm]\phi[/mm] abhängen.
Ist das mühsam ! Wenn ich Dir sage : "laufe 10 Meter", und Du läufst aber nur 1 Meter, so brauchst Du Dich nicht wundern, dass Du nicht ans Ziel kommst ....
Es ist $ [mm] g'(\phi)=f'(h(\phi))\cdot{}h'(\phi) [/mm] $ und [mm] $h'(\phi)=(-sin(\phi),cos(phi))$
[/mm]
Damit ist [mm] g'(\phi) [/mm] das Skalarprodukt der Vektoren
[mm] f'(h(\phi))=gradf(cos(\phi),sin(\phi)) [/mm] und [mm] (-sin(\phi),cos(\phi))
[/mm]
Mit obigem [mm] \phi_0 [/mm] ist also [mm] g'(\phi_0)=0.
[/mm]
Das bedeutet: die Vektoren
[mm] gradf(cos(\phi_0),sin(\phi_0)) [/mm] und [mm] (-sin(\phi_0),cos(\phi_0))
[/mm]
sind zueinander orthogonal.
Was bedeutet das für [mm] gradf(cos(\phi_0),sin(\phi_0)) [/mm] ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Fr 06.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Es ist leicht langsam zu sein wenn man nicht weiß wie es voran geht. Und das Problem was ich hier hatte, hatte ich auch schon einmal weiter oben...
Die Frage hat sich aber auch erledigt.
|
|
|
|
