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| Aufgabe | Gegeben sei der allgemeine Vektor [mm] \vec{r} \in \I R^3. [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] \vec{\nabla} |\vec{r}| [/mm] = [mm] \vec{e}_r [/mm] |
Leider hab ich keine ahnung, wie ich die aufgabe jetzt beginnen soll... ich finde zwar in der literatur die bestätigung, dass das stimmt, aber nicht wie es geht.
wenn ich ableite, bekomme ich nur ( [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}, \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}},\bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}})
[/mm]
Wo liegt mein Fehler???
LG
Tinchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei der allgemeine Vektor [mm]\vec{r} \in \I R^3.[/mm]
> Zeigen Sie, dass
> [mm]\vec{\nabla} |\vec{r}|[/mm] = [mm]\vec{e}_r[/mm]
> Leider hab ich keine ahnung, wie ich die aufgabe jetzt
> beginnen soll... ich finde zwar in der literatur die
> bestätigung, dass das stimmt, aber nicht wie es geht.
>
> wenn ich ableite, bekomme ich nur (
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}, \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}},\bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}})[/mm]
>
> Wo liegt mein Fehler???
Wie habt Ihr denn den Vektor $ [mm] \vec{e}_r [/mm] $ definiert ?
FRED
>
> LG
> Tinchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Di 11.05.2010 | | Autor: | DasTinchen |
[mm] \vec{e}_r [/mm] setzt sich aus den einzelnen Einheitsvektoren (in x-, y- und z-Richtung) [mm] e_x, e_y [/mm] und [mm] e_z [/mm] des vektors r zusammen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Kannst Du das mal hinschreiben ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Di 11.05.2010 | | Autor: | DasTinchen |
[mm] \vec{r}=(x*e_x,y*e_y,z*e_z) [/mm] = [mm] \vec{r}*\vec{e_r}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\vec{r}=(x*e_x,y*e_y,z*e_z)[/mm] = [mm]\vec{r}*\vec{e_r}[/mm]
Das verstehe ich nicht ! Es ist doch [mm]\vec{r}=(x,y,z)[/mm] . Was ist dann [mm] e_x, e_y, e_z [/mm] und was ist schließlich [mm] \vec{e_r} [/mm] ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Di 11.05.2010 | | Autor: | DasTinchen |
naja... man kann ja jede komponente des vektors mit einem einheitsvektor in die gleiche richtung multiplizieren. Das ändert nichts an der Darstellung. man stellt den vektor dadurch lediglich durch seine einheitsvektoren dar.
und genauso wie [mm] \vec{r} [/mm] aus 3 komponenten besteht (x,y,z) so besteht auch [mm] \vec{e_r} [/mm] aus drei komponenten (die abhängig von r sind) [mm] (e_{rx}, e_{ry}, e_{rz})
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> naja... man kann ja jede komponente des vektors mit einem
> einheitsvektor in die gleiche richtung multiplizieren. Das
> ändert nichts an der Darstellung. man stellt den vektor
> dadurch lediglich durch seine einheitsvektoren dar.
>
> und genauso wie [mm]\vec{r}[/mm] aus 3 komponenten besteht (x,y,z)
> so besteht auch [mm]\vec{e_r}[/mm] aus drei komponenten (die
> abhängig von r sind) [mm](e_{rx}, e_{ry}, e_{rz})[/mm]
Ich gebs auf .....
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Di 11.05.2010 | | Autor: | DasTinchen |
????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> ????
Noch ein letzter Versuch:
Wenn [mm] $\vec{r}=(x,y,z)$ [/mm] ist, kannst Du dann in klaren Worten oder Symbolen einfach mal hinschreiben, was dann [mm] e_r [/mm] bedeutet ??
Ich mach Dir ein Beispiel: wenn mich jemand fagt: wenn [mm] $\vec{r}=(x,y,z)$ [/mm] ist, was versteht man dann unter [mm] $|\vec{r}|$ [/mm] ?, so antworte ich:
[mm] $|\vec{r}|= \wurzel{x^2+y^2+z^2}$.
[/mm]
Damit ist alles glasklar.
So jetzt bist Du dran:
[mm] e_r [/mm] = jetzt sollte ein Formelausdruck kommen, indem x,y und z vorkommt
Mach mal.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Di 11.05.2010 | | Autor: | gfm |
> [mm]\vec{r}=(x*e_x,y*e_y,z*e_z)[/mm] = [mm]\vec{r}*\vec{e_r}[/mm]
Also [mm]\vec{r}[/mm] alleine ist dasselbe wie [mm]\vec{r}*\vec{e_r}[/mm]?!
Dein Problem (nicht böse gemeint) ist, dass Du Dir zumindest teilweise (denn eigentlich hast Du alles richtig differenziert) nicht im Klaren über die Bedeutung der von Dir verwendeteten Zeichen bist, bzw. Zeichen widersprüchlihc oder mehrdeutig verwendest (zumindest für die externen Beobachter).
[mm] \vec{e_r}, \vec{e_x},\vec{e_x},\vec{e_x},\vec{r} [/mm] sind alles Vektoren (bzw. vektorwertige Funktionen):
[mm] \vec{e_x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vec{e_y}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vec{e_y}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{r}=\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{x+0+0 \\ 0+y+0 \\ 0+0+z}=\vektor{x \\ 0 \\ 0}+\vektor{0 \\ y \\ 0}+\vektor{0 \\ 0 \\ z}=\vektor{x*1 \\ x*0 \\ x*0}+\vektor{y*0 \\ y*1 \\ y*0}+\vektor{z*0 \\ z*0 \\ z*1}=x*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+y*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+z*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=x*\vec{e_x}+y*\vec{e_y}+z*\vec{e_z}
[/mm]
Das "e" soll "Einheitsvektor" (also der Länge eins) bedeuten. Deswegen die Definition [mm] \vec{e_r}:=\frac{1}{|\vec{r}|}\vec{r}.
[/mm]
Und wenn Du jetzt die rechte Seite ausschreibst (so wie Fred das vorschlägt) und das mit Deinem Ergebnis vergleichst sollte alles gut sein.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Di 11.05.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> > Gegeben sei der allgemeine Vektor [mm]\vec{r} \in \I R^3.[/mm]
> > Zeigen Sie, dass
> > [mm]\vec{\nabla} |\vec{r}|[/mm] = [mm]\vec{e}_r[/mm]
> > Leider hab ich keine ahnung, wie ich die aufgabe jetzt
> > beginnen soll... ich finde zwar in der literatur die
> > bestätigung, dass das stimmt, aber nicht wie es geht.
> >
> > wenn ich ableite, bekomme ich nur (
> > [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}, \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}},\bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}})[/mm]
>
> >
> > Wo liegt mein Fehler???
>
> Wie habt Ihr denn den Vektor [mm]\vec{e}_r[/mm] definiert ?
Aus zeitlichen Gründen habe ich diesen Artikel jetzt nur überflogen, aber ich denke, dass es hier zunächst zu einer Koordinatentransformation ins Kugelkoordinatensystem kommen muss. Formal müsste es sich also um eine Projektion auf den Einheitsvektor [mm] \vec{e}_{r} [/mm] des Kugelkoordinatensystems handeln.
> FRED
> >
> > LG
> > Tinchen
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Di 11.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
>
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> > > Gegeben sei der allgemeine Vektor [mm]\vec{r} \in \I R^3.[/mm]
> > > Zeigen Sie, dass
> > > [mm]\vec{\nabla} |\vec{r}|[/mm] = [mm]\vec{e}_r[/mm]
> > > Leider hab ich keine ahnung, wie ich die aufgabe
> jetzt
> > > beginnen soll... ich finde zwar in der literatur die
> > > bestätigung, dass das stimmt, aber nicht wie es geht.
> > >
> > > wenn ich ableite, bekomme ich nur (
> > > [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}, \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}},\bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}})[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wo liegt mein Fehler???
> >
> > Wie habt Ihr denn den Vektor [mm]\vec{e}_r[/mm] definiert ?
>
>
> Aus zeitlichen Gründen habe ich diesen Artikel jetzt nur
> überflogen, aber ich denke, dass es hier zunächst zu
> einer Koordinatentransformation ins Kugelkoordinatensystem
> kommen muss. Formal müsste es sich also um eine Projektion
> auf den Einheitsvektor [mm]\vec{e}_{r}[/mm] des
> Kugelkoordinatensystems handeln.
Ne, müßte man nicht. Man müßte nur wissen, wie [mm] \overrightarrow{e_r} [/mm] definiert ist, um dann zu erkennen, dass man genau das ausgerechnet hat.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 11.05.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> >
> > > > Gegeben sei der allgemeine Vektor [mm]\vec{r} \in \I R^3.[/mm]
> > > > Zeigen Sie, dass
> > > > [mm]\vec{\nabla} |\vec{r}|[/mm] = [mm]\vec{e}_r[/mm]
> > > > Leider hab ich keine ahnung, wie ich die aufgabe
> > jetzt
> > > > beginnen soll... ich finde zwar in der literatur die
> > > > bestätigung, dass das stimmt, aber nicht wie es geht.
> > > >
> > > > wenn ich ableite, bekomme ich nur (
> > > > [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}, \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}},\bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}})[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Wo liegt mein Fehler???
> > >
> > > Wie habt Ihr denn den Vektor [mm]\vec{e}_r[/mm] definiert ?
> >
> >
> > Aus zeitlichen Gründen habe ich diesen Artikel jetzt nur
> > überflogen, aber ich denke, dass es hier zunächst zu
> > einer Koordinatentransformation ins Kugelkoordinatensystem
> > kommen muss. Formal müsste es sich also um eine Projektion
> > auf den Einheitsvektor [mm]\vec{e}_{r}[/mm] des
> > Kugelkoordinatensystems handeln.
>
> Ne, müßte man nicht. Man müßte nur wissen, wie
> [mm]\overrightarrow{e_r}[/mm] definiert ist, um dann zu erkennen,
> dass man genau das ausgerechnet hat.
Man weiss doch aber, dass [mm] \vec{e}_{r} [/mm] ein Einheitsvektor aus dem Kugelkoordinatensystem ist und man kennt auch den Ortsvektor des Kugelkoordinatensystems zu [mm] \vec{r}(r,\theta,\varphi)=r*\vec{e}_{r}. [/mm]
Diesen Ortsvektor erhalte ich durch eine Koordinatentransformation des kartesischen Ortsvektors [mm] \vec{r}=x*\vec{e}_{x}+y*\vec{e}_{y}+z*\vec{e}_{z} [/mm] (Einheitswürfel für x=y=z=1).
Mit
[mm] \nabla=\vektor{\bruch{\partial}{\partial r} \\ \bruch{\partial}{\partial\theta} \\ \bruch{\partial}{\partial \varphi}} [/mm] und [mm] |\vec{r}(r,\theta,\varphi)|=\wurzel{r^{2}\vec{e}_{r}^{2}}=r
[/mm]
erhält man
[mm] \nabla*|\vec{r}|=\vektor{\bruch{\partial}{\partial r} \\ \bruch{\partial}{\partial\theta} \\ \bruch{\partial}{\partial \varphi}}*\vektor{r \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vec{e}_{r}
[/mm]
> LG
>
> gfm
>
>
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Mi 12.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
>
>
>
> > > Hallo!
> > >
> > >
> > > > > Gegeben sei der allgemeine Vektor [mm]\vec{r} \in \I R^3.[/mm]
> > > > > Zeigen Sie, dass
> > > > > [mm]\vec{\nabla} |\vec{r}|[/mm] = [mm]\vec{e}_r[/mm]
> > > > > Leider hab ich keine ahnung, wie ich die
> aufgabe
> > > jetzt
> > > > > beginnen soll... ich finde zwar in der literatur die
> > > > > bestätigung, dass das stimmt, aber nicht wie es geht.
> > > > >
> > > > > wenn ich ableite, bekomme ich nur (
> > > > > [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}, \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}},\bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}})[/mm]
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> > > > > Wo liegt mein Fehler???
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> > > > Wie habt Ihr denn den Vektor [mm]\vec{e}_r[/mm] definiert ?
> > >
> > >
> > > Aus zeitlichen Gründen habe ich diesen Artikel jetzt nur
> > > überflogen, aber ich denke, dass es hier zunächst zu
> > > einer Koordinatentransformation ins Kugelkoordinatensystem
> > > kommen muss. Formal müsste es sich also um eine Projektion
> > > auf den Einheitsvektor [mm]\vec{e}_{r}[/mm] des
> > > Kugelkoordinatensystems handeln.
> >
> > Ne, müßte man nicht. Man müßte nur wissen, wie
> > [mm]\overrightarrow{e_r}[/mm] definiert ist, um dann zu erkennen,
> > dass man genau das ausgerechnet hat.
>
>
>
> Man weiss doch aber, dass [mm]\vec{e}_{r}[/mm] ein Einheitsvektor
> aus dem Kugelkoordinatensystem ist und man kennt auch den
> Ortsvektor des Kugelkoordinatensystems zu
> [mm]\vec{r}(r,\theta,\varphi)=r*\vec{e}_{r}.[/mm]
>
>
> Diesen Ortsvektor erhalte ich durch eine
> Koordinatentransformation des kartesischen Ortsvektors
> [mm]\vec{r}=x*\vec{e}_{x}+y*\vec{e}_{y}+z*\vec{e}_{z}[/mm]
> (Einheitswürfel für x=y=z=1).
>
>
> Mit
>
> [mm]\nabla=\vektor{\bruch{\partial}{\partial r} \\ \bruch{\partial}{\partial\theta} \\ \bruch{\partial}{\partial \varphi}}[/mm]
> und
> [mm]|\vec{r}(r,\theta,\varphi)|=\wurzel{r^{2}\vec{e}_{r}^{2}}=r[/mm]
>
>
> erhält man
>
> [mm]\nabla*|\vec{r}|=\vektor{\bruch{\partial}{\partial r} \\ \bruch{\partial}{\partial\theta} \\ \bruch{\partial}{\partial \varphi}}*\vektor{r \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vec{e}_{r}[/mm]
>
Hm, erst wird der Nabla-Operator auf eine rellwertige Funktion angewendet und dann auf eine vektorwertige.
Schau mal:
![[]](/images/popup.gif) Transformation des Nabla-Operators
Ich weiß schon worauf Du hinaus willst, das ist aber gar nicht notwendig:
[mm] \partial_{x_j} \wurzel{\summe x_i^2}=\frac{x_j}{\wurzel{\summe x_i^2}}
[/mm]
EDIT: Und deswegen [mm] \nabla{|\vec{r}|}=\frac{1}{|\vec{r}|}\vec{r}=\vec{e_r}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Mi 12.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
den Einheitsvektor in Richtung [mm] \vec{a} [/mm] berechnet man
durch [mm] \vec{e_a}=\bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|}
[/mm]
vielleicht siehst du so endich, dass dein Ergebnis im allerersten post nicht anderes war als [mm] \vec{e_r}
[/mm]
Kugelkoordinaten brauchst du nicht, da dus ja schon von Anfang an richtig hattest, und das nur nicht gemerkt hast.
Gruss leduart
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> > Hallo!
> >
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> > > > Hallo!
> > > >
> > > >
> > > > > > Gegeben sei der allgemeine Vektor [mm]\vec{r} \in \I R^3.[/mm]
> > > > > > Zeigen Sie, dass
> > > > > > [mm]\vec{\nabla} |\vec{r}|[/mm] = [mm]\vec{e}_r[/mm]
> > > > > > Leider hab ich keine ahnung, wie ich die
> > aufgabe
> > > > jetzt
> > > > > > beginnen soll... ich finde zwar in der literatur die
> > > > > > bestätigung, dass das stimmt, aber nicht wie es geht.
> > > > > >
> > > > > > wenn ich ableite, bekomme ich nur (
> > > > > > [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}, \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}},\bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}})[/mm]
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> > > > > > Wo liegt mein Fehler???
> > > > >
> > > > > Wie habt Ihr denn den Vektor [mm]\vec{e}_r[/mm] definiert ?
> > > >
> > > >
> > > > Aus zeitlichen Gründen habe ich diesen Artikel jetzt nur
> > > > überflogen, aber ich denke, dass es hier zunächst zu
> > > > einer Koordinatentransformation ins Kugelkoordinatensystem
> > > > kommen muss. Formal müsste es sich also um eine Projektion
> > > > auf den Einheitsvektor [mm]\vec{e}_{r}[/mm] des
> > > > Kugelkoordinatensystems handeln.
> > >
> > > Ne, müßte man nicht. Man müßte nur wissen, wie
> > > [mm]\overrightarrow{e_r}[/mm] definiert ist, um dann zu erkennen,
> > > dass man genau das ausgerechnet hat.
> >
> >
> >
> > Man weiss doch aber, dass [mm]\vec{e}_{r}[/mm] ein Einheitsvektor
> > aus dem Kugelkoordinatensystem ist und man kennt auch den
> > Ortsvektor des Kugelkoordinatensystems zu
> > [mm]\vec{r}(r,\theta,\varphi)=r*\vec{e}_{r}.[/mm]
> >
> >
> > Diesen Ortsvektor erhalte ich durch eine
> > Koordinatentransformation des kartesischen Ortsvektors
> > [mm]\vec{r}=x*\vec{e}_{x}+y*\vec{e}_{y}+z*\vec{e}_{z}[/mm]
> > (Einheitswürfel für x=y=z=1).
> >
> >
> > Mit
> >
> > [mm]\nabla=\vektor{\bruch{\partial}{\partial r} \\ \bruch{\partial}{\partial\theta} \\ \bruch{\partial}{\partial \varphi}}[/mm]
> > und
> >
> [mm]|\vec{r}(r,\theta,\varphi)|=\wurzel{r^{2}\vec{e}_{r}^{2}}=r[/mm]
> >
> >
> > erhält man
> >
> > [mm]\nabla*|\vec{r}|=\vektor{\bruch{\partial}{\partial r} \\ \bruch{\partial}{\partial\theta} \\ \bruch{\partial}{\partial \varphi}}*\vektor{r \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vec{e}_{r}[/mm]
>
> >
>
> Hm, erst wird der Nabla-Operator auf eine rellwertige
> Funktion angewendet und dann auf eine vektorwertige.
>
> Schau mal:
Transformation des Nabla-Operators
Ja, da habe ich gepennt, auch wenn sich das Ergebnis dadurch nicht ändert, weil nur die r-Komponente betroffen ist. Man hätte dann:
[mm] \nabla=\vec{e}_{r}\bruch{\partial }{\partial r}+\vec{e}_{\theta}\bruch{1}{r}\bruch{\partial }{\partial \theta}+\vec{e}_{\varphi}\bruch{1}{r sin(\theta)}\bruch{\partial }{\partial\varphi}
[/mm]
> Ich weiß schon worauf Du hinaus willst, das ist aber gar
> nicht notwendig:
>
> [mm]\partial_{x_j} \wurzel{\summe x_i^2}=\frac{x_j}{\wurzel{\summe x_i^2}}[/mm]
>
> EDIT: Und deswegen
> [mm]\nabla{|\vec{r}|}=\frac{1}{|\vec{r}|}\vec{r}=\vec{e_r}[/mm]
Gruß, Marcel
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