Gradient und Potential < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
will eigentlich nur wissen ob ich die Aufgabe richtig habe. Ist aus einer Klausur.
Bei der a) habe ich ein einfaches Gleichungssystem aufgestellt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(a)= [/mm] 1 = <(grad f)(a),v> = [mm] v_{1}f_{x}(a) [/mm] + [mm] v_{2}f_{y}(a)
[/mm]
Wobei v der normierte Vektor ist, also [mm] \bruch{1}{5}\vektor{3 \\ 4}. [/mm] Die zweite Gleichung habe ich analog aufgestellt, dann aufgelöst und ineinander eingesetzt und bekomme (grad f)(a) = (5,-2.5)
So bei der b bin ich mir etwas unsicher. Beim Finden einer Stammfunktion prüfen wir zunächst, ob diese vertauschten Ableitungen übereinstimmen, also zB: [mm] \bruch{\partial f_{1}}{\partial z} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f_{3}}{\partial x}. [/mm] Aber so weit ich weiß garantiert das ja nur, dass eine Stammfunktion existiert. Fall die Ableitungen nicht übereinstimmen kann trotzdem noch eine Stammfunktion existieren.
Ich würde also anfangen zu rechnen:
[mm] F_{x} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] e^{y} [/mm] | nach x integ.
F = [mm] \bruch{ x^{3}}{3} [/mm] + [mm] xe^{y} [/mm] + g(y,z) | ableiten nach y
[mm] F_{y} [/mm] = [mm] xe^{y} [/mm] + g'(y,z) = x - [mm] \bruch{y}{2}
[/mm]
g'(y,z) = [mm] x(1-e^{y}) [/mm] - [mm] \bruch{y}{2}
[/mm]
und hier würde ich aufhören, weil die Funktion ja noch von x abhängt, obwohl sie das eigentlich nicht dürfte. Reicht das als "Beweis"?
ciao, Simon.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Kann dir nur sagen, dass die bei b) definierte Funktion f kein Gradientenfeld ist.
Das folgt daraus, dass wenn f auf einer ![[]](/images/popup.gif) zusammenziehbaren Menge definiert ist, dann sind äquivalent:
a) Es gibt ein Skalarfeld F, so dass grad F = f ist.
b) rot f = 0
Und ich habe [mm](rot f)(\vektor{x \\ y \\ z}) = \vektor{0 \\ 0 \\ 1-e^y}[/mm] raus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Vreni |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
>
> will eigentlich nur wissen ob ich die Aufgabe richtig habe.
> Ist aus einer Klausur.
>
> Bei der a) habe ich ein einfaches Gleichungssystem
> aufgestellt:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial v}(a)=[/mm] 1 = <(grad f)(a),v> =
> [mm]v_{1}f_{x}(a)[/mm] + [mm]v_{2}f_{y}(a)[/mm]
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> Wobei v der normierte Vektor ist, also
> [mm]\bruch{1}{5}\vektor{3 \\ 4}.[/mm] Die zweite Gleichung habe ich
> analog aufgestellt, dann aufgelöst und ineinander
> eingesetzt und bekomme (grad f)(a) = (5,-2.5)
>
Hallo Simon,
stimmt soweit. Was du bei der a) noch nicht gemacht hast, ist die Richtungsableitung in Richtung des Vektors (8, 6) zu berechnen, aber das dürfte dann eigentlich kein Problem sein?
> So bei der b bin ich mir etwas unsicher. Beim Finden einer
> Stammfunktion prüfen wir zunächst, ob diese vertauschten
> Ableitungen übereinstimmen, also zB: [mm]\bruch{\partial f_{1}}{\partial z}=\bruch{\partial f_{3}}{\partial x}.[/mm]
> Aber so weit ich weiß
> garantiert das ja nur, dass eine Stammfunktion existiert.
> Fall die Ableitungen nicht übereinstimmen kann trotzdem
> noch eine Stammfunktion existieren.
Wenn die Ableitungen nicht übereinstimmen, kann auch keine Stammfunktion existieren:
[mm] f_1 [/mm] ist ja nichts anderes als [mm] \frac{\partial F}{\partial x}, [/mm] und [mm] f_3=\frac{\partial F}{\partial z}.
[/mm]
Wenn jetzt [mm] \frac{\partial f_{1}}{\partial z} \not= \frac{\partial f_{3}}{\partial x},
[/mm]
würde das bedeuten, dass
[mm] \frac{\partial^2 F}{\partial z \partial x} \not= \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial z},
[/mm]
also die Ableitungen nicht kommutativ sind. Und das müsste erfüllt sein, wenn es eine Funktion F gibt.
Das Rotationskriterium von Merle sagt übrigens genau das aus. Wenn du mal die Rotation ausschreibst in Ableitungen, siehst du, dass für rot(f)=0 genau die "vertauschten Ableitungen" übereinstimmen müssen.
Damit kannst du dir die Rechnung unten sparen, sie wäre zwar Richtig, ist von der Argumentation her hier aber etwas sehr umständlich.
Gruß,
Vreni
>
> Ich würde also anfangen zu rechnen:
>
> [mm]F_{x}[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]e^{y}[/mm] | nach x integ.
> F = [mm]\bruch{ x^{3}}{3}[/mm] + [mm]xe^{y}[/mm] + g(y,z) | ableiten nach y
> [mm]F_{y}[/mm] = [mm]xe^{y}[/mm] + g'(y,z) = x - [mm]\bruch{y}{2}[/mm]
>
> g'(y,z) = [mm]x(1-e^{y})[/mm] - [mm]\bruch{y}{2}[/mm]
>
> und hier würde ich aufhören, weil die Funktion ja noch von
> x abhängt, obwohl sie das eigentlich nicht dürfte. Reicht
> das als "Beweis"?
>
> ciao, Simon.
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Danke. Das mit dem Satz von Schwarz leuchtet mir ein..
PS: Das mit der Richtungsableitung war mir klar, war nur zu faul das noch hinzuschreiben weil mir klar war, dass meine Lösung stimmt wenn das vorher richtig ist.
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