Gradient und Richtungsabl. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie bei folgenden Funktionen den Gradienten und die Richtungsableitung im Punkt A in Richtung von [mm] \vec{a}
[/mm]
(i) [mm] f(x,y)=x^2-y^2 [/mm] ; A=(1;2) ; [mm] \vec{a}=(\bruch{1}{\wurzel{3}}; \bruch{1}{\wurzel{3}}) [/mm] |
Hallo,
Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. Ich bin soweit gekommen, dass ich den Gradienten bestimmt habe. Dazu hab ich als Arbeitspunkt den Punkt A genommen.
Zuerst die Ableitungen nach x und dann nach y bestimmt, dann eingesetzt damit ich die Steigungen der jeweiligen Richtungen rausbekomme. Raus kommt dann bei fx(1)=2 und fy(2)=-4. Somit wäre der Gradient doch
grad f(x,y)=(2;-4) richtig?
Was ist jetzt mit der Richtungsableitung in richtung von a gemeint? Wie muss ich da vor gehen?
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Hallo raised.first,
> Bestimmen sie bei folgenden Funktionen den Gradienten und
> die Richtungsableitung im Punkt A in Richtung von [mm]\vec{a}[/mm]
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> (i) [mm]f(x,y)=x^2-y^2[/mm] ; A=(1;2) ;
> [mm]\vec{a}=(\bruch{1}{\wurzel{3}}; \bruch{1}{\wurzel{3}})[/mm]
>
> Hallo,
>
> Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. Ich bin soweit
> gekommen, dass ich den Gradienten bestimmt habe. Dazu hab
> ich als Arbeitspunkt den Punkt A genommen.
>
> Zuerst die Ableitungen nach x und dann nach y bestimmt,
> dann eingesetzt damit ich die Steigungen der jeweiligen
> Richtungen rausbekomme. Raus kommt dann bei fx(1)=2 und
> fy(2)=-4. Somit wäre der Gradient doch
> grad f(x,y)=(2;-4) richtig?
Das stimmt, wenn der Arbeitspunkt A mit (1,2) identifiziert wird.
>
> Was ist jetzt mit der Richtungsableitung in richtung von a
> gemeint? Wie muss ich da vor gehen?
Hier bestimmst Du den Wert von
[mm]\lim_{h \to 0}}\bruch{f\left(x+h*a_{1},y+h*a_{2}\right)-f\left(x,y\right)}{h}[/mm]
, wobei [mm]\overrightarrow{a}=\pmat{a_{1}, \ a_{2}}[/mm]
Sicherlich kennst Du hier auch eine andere Formel für
die Richtungsableitung.
Gruss
MathePower
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Hallo,
Danke für deine Antwort. Leider kenne ich keine andere Formel dafür. Welche meinst du denn?
mfg
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Hallo raised.first,
> Hallo,
>
> Danke für deine Antwort. Leider kenne ich keine andere
> Formel dafür. Welche meinst du denn?
>
Ich denke da an das Skalarprodukt des Gradienten in einem Punkt mit der
vorgegebenen Richtung.
Also [mm]\nabla f\left(x,y\right) \* \overrightarrow{a}[/mm]
>
> mfg
Gruss
MathePower
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Ok,
wie ich gerade gesehen hab ist [mm] \vec{a} [/mm] schon normiert, also hat den Betrag=1.
Wäre meine Lösung so korrekt?
grad f(x,y)=(2x;-2y) A=(1,2) [mm] \vec{a}=(\bruch{1}{\wurzel{2}};\bruch{1}{\wurzel{2}})
[/mm]
grad [mm] f(1,2)*\vec{a} [/mm] = [mm] 2*\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] (-4)*\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] -\wurzel{2}
[/mm]
Also ist die Richtungsableitung [mm] -\wurzel{2} [/mm] in dem vorgegebenen punkt A und in der vorgegebenen Richtung [mm] \vec{a}?
[/mm]
Was müsste ich tun wenn [mm] \vec{a} [/mm] nicht normiert wäre?
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> Ok,
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> wie ich gerade gesehen hab ist [mm]\vec{a}[/mm] schon normiert, also
> hat den Betrag=1.
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> Wäre meine Lösung so korrekt?
>
> grad f(x,y)=(2x;-2y) A=(1,2)
> [mm]\vec{a}=(\bruch{1}{\wurzel{2}};\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm]
> grad [mm]f(1,2)*\vec{a}[/mm] = [mm]2*\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] +
> [mm](-4)*\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] = [mm]-\wurzel{2}[/mm]
>
> Also ist die Richtungsableitung [mm]-\wurzel{2}[/mm] in dem
> vorgegebenen punkt A und in der vorgegebenen Richtung
> [mm]\vec{a}?[/mm]
Hallo,
ja.
>
> Was müsste ich tun wenn [mm]\vec{a}[/mm] nicht normiert wäre?
Das kommt darauf an, wie Ihr Richtungsableitung definiert habt. Es sind zwei Defs üblich, die eine mit Normierung, die andere ohne.
Im ersten Fall normierst Du den Richtungsvektor, im zweiten Fall nicht.
Gruß v. Angela
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