Gradient und Richtungsablt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Do 12.05.2011 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Gegeben sei:
f(x,y,z)=10+6cos(x)cos(z)-3cos(2x)cos(2z)
Bestimmen Sie im Punkt [mm] P=(\bruch{\pi}{3},\bruch{\pi}{6},\bruch{\pi}{3})
[/mm]
a) Die Richtung des größte Anstiegs und des größten Abfalls,
b) alle Richtung ohne Änderung. |
Hallo zusammen,
vorweg mal mein berechneter Gradient:
[mm] grad_{(x,y,z)}f=\vektor{6sin(2x)cos(2z)-6sin(x)cos(z) \\ 0 \\ 6cos(2x)sin(2z)-6cos(x)sin(z)}
[/mm]
Jetzt meine Frage zum Verständnis:
Habe ich nicht mit dem Gradienten automatisch Frage a) eigentlich schon beantwortet? Also ist nicht der Gradient die Richtung des größten Anstiegs und damit auch gleichzeitig des größten Abfalls?
(Natürilch nach dem Einsetzen des Punktes.)
Und zu b): kann man aus dem Gradient nicht auch beliebige Richtungsableitungen bestimmen?
Schöne Grüße, stffn
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Do 12.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei:
>
> f(x,y,z)=10+6cos(x)cos(z)-3cos(2x)cos(2z)
>
> Bestimmen Sie im Punkt
> [mm]P=(\bruch{\pi}{3},\bruch{\pi}{6},\bruch{\pi}{3})[/mm]
>
> a) Die Richtung des größte Anstiegs und des größten
> Abfalls,
Abfall ? Müll ?
> b) alle Richtung ohne Änderung.
> Hallo zusammen,
>
> vorweg mal mein berechneter Gradient:
>
> [mm]grad_{(x,y,z)}f=\vektor{6sin(2x)cos(2z)-6sin(x)cos(z) \\ 0 \\ 6cos(2x)sin(2z)-6cos(x)sin(z)}[/mm]
>
> Jetzt meine Frage zum Verständnis:
> Habe ich nicht mit dem Gradienten automatisch Frage a)
> eigentlich schon beantwortet? Also ist nicht der Gradient
> die Richtung des größten Anstiegs
Ja
> und damit auch
> gleichzeitig des größten Abfalls?
Nein. Richtung des größten Abfalls: - Gradient
> (Natürilch nach dem Einsetzen des Punktes.)
>
> Und zu b): kann man aus dem Gradient nicht auch beliebige
> Richtungsableitungen bestimmen?
Ja, dafür hattet Ihr siche die Formel
Richtungsableitung= Richtung * Gradient
FRED
>
> Schöne Grüße, stffn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Do 12.05.2011 | | Autor: | stffn |
> Abfall ? Müll ?
Gegenteil von Anstieg=Abfall?:D Ich kann auch negativer Anstieg sagen, wenn es dir lieber ist;)
zum Thema:
Nachdem ich den Punkt eingesetzt habe, komme ich auf den Gradienten:
[mm] grad_{(\bruch{\pi}{3},\bruch{\pi}{6},\bruch{\pi}{3})}f=\vektor{-3\wurzel{3} \\ 0 \\ -3\wurzel{3}}
[/mm]
Demnachist die entgegengesetzte Richtung:
[mm] -grad_{(\bruch{\pi}{3},\bruch{\pi}{6},\bruch{\pi}{3})}f=\vektor{3\wurzel{3} \\ 0 \\ 3\wurzel{3}}.
[/mm]
b) ... Die Gleichung habe ich mir irgendwie nicht aufgeschrieben.
Also wenn ich als beliebige Richtung den Vektor [mm] \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})^T [/mm] nehme komme ich auf das Skalarprodukt [mm] ...=-u_{1}3\wurzel{3}-u_{3}3\wurzel{3}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] konstant in die RIchtungen [mm] \vec{u}=(u_{1}, u_{2}, -u_{1})^T.
[/mm]
(Nach Gleichsetzen mit 0.)
Stimmt die Überlegung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Do 12.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Abfall ? Müll ?
>
> Gegenteil von Anstieg=Abfall?:D Ich kann auch negativer
> Anstieg sagen, wenn es dir lieber ist;)
................ wie Du dazu sagst ist mir egal ....
>
> zum Thema:
>
> Nachdem ich den Punkt eingesetzt habe, komme ich auf den
> Gradienten:
>
> [mm]grad_{(\bruch{\pi}{3},\bruch{\pi}{6},\bruch{\pi}{3})}f=\vektor{-3\wurzel{3} \\ 0 \\ -3\wurzel{3}}[/mm]
>
> Demnachist die entgegengesetzte Richtung:
>
> [mm]-grad_{(\bruch{\pi}{3},\bruch{\pi}{6},\bruch{\pi}{3})}f=\vektor{3\wurzel{3} \\ 0 \\ 3\wurzel{3}}.[/mm]
>
> b) ... Die Gleichung habe ich mir irgendwie nicht
> aufgeschrieben.
>
> Also wenn ich als beliebige Richtung den Vektor
> [mm]\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})^T[/mm] nehme komme ich auf das
> Skalarprodukt [mm]...=-u_{1}3\wurzel{3}-u_{3}3\wurzel{3}.[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] konstant in die RIchtungen [mm]\vec{u}=(u_{1}, u_{2}, -u_{1})^T.[/mm]
>
> (Nach Gleichsetzen mit 0.)
> Stimmt die Überlegung?
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Do 12.05.2011 | | Autor: | stffn |
Vielen Dank.
|
|
|
|
