Gradientenfelder < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
| Aufgabe | z.z.: ist rotv=0 so ist v ein Gradientenfeld.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hat irgendjemand ne Idee wie man in diese Aufgabe starten kann?
Danke schonmal!
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Hallo Michi1,
allgemein:
[mm]rot\vec{v} = \nabla \times \vec{v}[/mm].
Wenn du nicht das Kreuzprodukt berechnen willst, dann kannst du das praktisch auch so machen (hier für [mm]\IR^3[/mm]):
[mm]rot\vec{v} =
\pmat{
\bruch{\partial\vec{v_z}}{\partial y} & - & \bruch{\partial\vec{v_y}}{\partial z}
\\
\bruch{\partial\vec{v_y}}{\partial x} & - &
\bruch{\partial\vec{v_x}}{\partial y}
\\
\bruch{\partial\vec{v_y}}{\partial z} & - & \bruch{\partial\vec{v_z}}{\partial y}
}[/mm],
also den z-Eintrag von [mm] \vec{v} [/mm] nach y abgeleitet minus den y-Eintrag von [mm] \vec{v} [/mm] nach z abgeleitet usw
Grüße
Slartibartfast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
Hallo Slartibartfast,
Danke für die Antwort.
Aber damit hab ich doch noch nicht gezeigt dass v ein Gradientenfeld ist, für dieses muss ja gelten v=gradf für eine stetig diffb. Funktion f.
Diese sollte übrigens (hab ich vergessen sorry...) definiert werden durch [mm] f(x)=\integral_{0}^{1}{dt}
[/mm]
mfg
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Hallo Michi1,
[mm] \vec{v} [/mm] ist ein Gradientenfeld (und wegunabhängig/konservativ) wenn der Klammerinhalt den Nullvektor ergibt - ist doch schön gezeigt, oder?
Zum Lösen des Kurventintegrals musst du dann halt entsprechend parametrisieren.
Grüße
Slartibartfast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
hm....das stimmt ja.
Nur irgendwie hab ich Probleme die Erkenntnisse aus rotv=0 (woraus ja folgt dass [mm] \bruch{\delta\overrightarrow{v}_{z}}{\delta y} [/mm] = [mm] \bruch{\delta\overrightarrow{v}_{y}}{\delta z} [/mm] usw.) mit der Funktion zusammenzubringen.
Kannst du mir da noch helfen?
Danke dir schonmal!
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wie lautet denn dein v(x) und dein x(t)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
nun ja das ist eben allgemein gehalten, "bekannt" ist eben:
[mm] f(x)=\integral_{1}^{0}{ dt}
[/mm]
sowie [mm] v=(v_{1},v_{2},v_{3})
[/mm]
und zz.:rotv=0 => gradf=v
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
umgekehrt natürlich:
f(x)= [mm] \integral_{0}^{1}{ dt}
[/mm]
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ok, dann eben allgemein:
[mm] \integral_{K}{\vec{v} d\vec{x}} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{<\vec{f}(\vec{x}(t)), \vec{x}'(t)> dt}
[/mm]
in Worten:
du setzt in dein Gradientenfeld die Parametrisierung ein und skalarmultiplizierst das mit dem vektoriellen Bogenelement. Darüber das Integral von 0 bis 1 nach t.
Grüße
Slartibartfast
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
ah ich seh schon wo ich hing...
also auf jeden Fall vielen Dank an dich ;) !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Di 29.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
hm...habe doch mehr Schwierigkeiten als zunächst angenommen mit dem von dir angegebenen Integral.
Glaubst du dass du vielleicht mal ein Beispiel angeben könntest?
wäre sehr nett...
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Ich hab mal ne alte Gruppenübungsaufgabe rausgekramt.
Das Beispiel ist in [mm] \IR^2, [/mm] aber nicht konservativ.
Gegeben sind:
das Vektorfeld:
[mm]\vec{v}(x,y)=\vektor{x(1-y) \\ y(1-x)}[/mm]
und der Kreis
C: [mm]x^2 + y^2 = 1[/mm]
somit ist [mm]c(t) = \vektor{cos t \\ sin t}[/mm]
und [mm]c'(t) = \vektor{-sin t \\ cos t}[/mm]
in das Integral eingesetzt ergibt das:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{<\vektor{cos t(1-sin t) \\ sin t(1-cos t)}, \vektor{-sin t \\ cos t}> dx}[/mm]
[mm]= -sin t cos t(1-sin t) + sin t cos t(1-cos t) |_{0}^{2\pi}[/mm]
(ich hoffe, ich hab mich nicht vertippt)
gibt nach längerer Umformung und eingesetzten Grenzen 0.
Grüße
Slartibartfast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Di 29.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
Hallo Slartibartfast,
Danke für die Antwort.
Das Beispiel ist nachvollziehbar, jedoch was mache ich wenn ich keinen Kreis habe? Dh. wenn ich zB zu einem Vektorfeld v(x,y)=(2xy³,3x²y²) eine Funktion f(x,y) brauche mit gradf=v(x,y). Wie gehe ich da mit dem Integral vor?
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Dann wird statt der Parametrisierung eben der Gradient ins Integral eingesetzt, in deinem Fall
[mm]\nabla f(x,y) = \vektor{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} \\ \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}}[/mm]
Gruß
Slartibartfast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Di 29.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
also ich weis nicht woran es da hängt...
wenn ich das durchrechne kommt bei mir [mm] \bruch{5}{2} [/mm] x²y³ raus...und es müsste ja f(x)=x²y³ rauskommen.
Also falls du noch Zeit hast und das Bsp noch rechnen könntest wäre das super ;)
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Vllt versteh ich jetzt nicht was du meinst.
Du suchst eine Fkt f(x) die du mittels des Integrals herausbekommen willst?
Was meinst du mit gradf? Den Gradienten von f oder Abkürzung für Gradientenfeld?
Oder ist f(x) das zugehörige Potentialfeld von v?
Und was meinst du genau mit v(tx)?
Bin grad ein bisschen verpeilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Di 29.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
also mit gradf meine ich den Gradienten von f.
Liegt mir nun ein Vektorfeld [mm] v=(v_{1},v_{2},v_{3}) [/mm] mit rotv=0 vor, so ist ja nun zu zeigen dass es eine Funktion f gibt mit gradf=v (ist ja die Definition eines Gradientenfeldes).
Zudem ist nun eben auch gegeben dass:
[mm] f(x):=\integral_{0}^{1}{dt} [/mm] sein soll.
D.h. ich muss unter der Voraussetung rotv=0 aus obigem Integral allgemein folgern dass gradf=v ist.
Was nun im Integral v(tx) genau bedeutet und wie ich damit umgehe, daran hänge ich...
Deswegen habe ich es auch schon über Beispiele versucht, aber irgendwie kann ich dieses Integral nie so interpretieren dass dann eine funktion rauskommt für die gradf=v gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Di 29.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
also vielleicht kann man es auch so sagen:
[mm] f(x):=\integral_{0}^{1}{dt} [/mm] sehe ich als "Automat" der mir zu jedem Vektorfeld mit rotv=0 (=Gradientenfeld) eine Funktion f liefern soll für die gilt: gradf=v.
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Ok, jetzt hab ichs.
Also du willst nicht das Arbeitsintegral, sondern die Potentialfkt f.
Das geht aber meines Wissens nicht mit diesem Integral sondern minimal aufwändiger.
Hier hab ich dir mal meine Version von der damaligen Prüfung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
f ist bei dir v
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Di 29.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
also auf jeden Fall danke für deine Mühe!
Bei einigen Notationen blicke ich noch nicht so durch...Könntest du dieses Verfahren noch bitte zur Veranschaulichung auf dieses Bsp anwenden:
zu einem Vektorfeld v(x,y)=(2xy³,3x²y²) ist die Funktion f(x,y) gesucht mit gradf=v(x,y).
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Also:
[mm]\vec{v}(x,y) = \vektor{2xy^3 \\ 3x^2y^2} = \vektor{\phi_x \\ \phi_y}[/mm]
[mm]
[mm][mm] \phi [/mm] = [mm] \integral{\phi_x dx} [/mm] = [mm] \integral{2xy^3 dx} [/mm] = [mm]x^2y^3 + c(y)[/mm]
Das Ergebnis leitet man nach y ab
[mm](x^2y^3 + c(y))'^{y} = 3x^2y^2 + c'^{y}(y)[/mm]
und setzt es mit [mm] \phi_y [/mm] gleich
[mm]3x^2y^2 + c'^{y}(y) = \phi_y[/mm]
[mm]3x^2y^2 + c'^{y}(y) = 3x^2y^2[/mm]
Heraus kommt die Konstante
[mm]=> c'^{y}(y) = 0[/mm]
[mm]c(y) = \integral{c'^{y}(y) dy} = 0[/mm]
Somit ist [mm]f(x,y) = x^2y^3[/mm]
Ich hab jetzt nochmal nachgeschlagen (S.541 Repetitorium der HM, wo man übrigens darüber auch die andere Variante nachlesen kann) und gesehen, dass es deine Formel tatsächlich gibt. Und die ist um Längen einfacher als das Gewurschtel da oben. Damit komme ich sogar auf das gewünschte Ergebnis:
[mm]f(x,y) = \integral_{0}^{1}{<\vektor{2xy^3t^4 \\ 3x^2y^2t^4}, \vektor{x \\ y}> dt} = [\bruch{2}{5}x^2y^3t^5 + \bruch{3}{5}x^2y^3t^5]_0^1 = x^2y^3[/mm]
Der Witz ist (den ich allerdings nicht verstehe, vllt erklärt das ein Anderer), dass man nicht wie ich gedacht hatte das t nur einmal reinmultipliziert, sondern sooft wie Variablen vorhanden sind.
Gruß
Slartibartfast
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Di 29.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
"Der Witz ist (den ich allerdings nicht verstehe, vllt erklärt das ein Anderer), dass man nicht wie ich gedacht hatte das t nur einmal reinmultipliziert, sondern sooft wie Variablen vorhanden sind."
Genau daran lags bei mir, da bin ich nicht drauf gekommen...
Also vielen Dank an dich Slartibartfast!
Jetzt bin ich gerade dabei die Allgemeingültigkeit davon zu beweisen,also wer Lust hat kann sich gerne beteiligen... ;)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:18 Di 29.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
Also ich glaube ich poste es doch lieber als Frage da es wieder mal schwieriger ist als es zunächst aussieht:
Hast du ne Idee wie man allgemein mit dem nun richtig interpretierten Integral darauf schließen kann, dass es zu einem beliebigem Vektorfeld [mm] v(x,y,z)=(v_{1}, v_{2}, v_{3}) [/mm] mit rotv=0 eine Funktion f(x,y,z) gibt mit gradf=v?
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öh, ich versteh nicht so ganz.
Man könnte das allgemeine Integral in Vektorschreibweise hinschreiben. Oder wie möchtest du es noch haben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Di 29.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
also mein Hauptproblem liegt daran das t allgemein hinzuschreiben. Dieses ist ja wie du herausgefunden hast von der Anzahl der Variablen abhängig. Wenn man nun das Integral ausschreiben möchte, hab ich mit dem t ein Problem, da dies ja auch irgendwie allgemein hingeschrieben werden muss.
[mm] zB.:v(x,y,z)=(5x^{4}y^{3}+z,3x^{5}y²,x) [/mm] in so einem Fall gibt es ja für [mm] v_{1} [/mm] im integral < [mm] t^{7} 5x^{4} [/mm] y³+tz ,x> ,solche Fälle müsste eine allgemeine Schreibweise ja auch miteinbeziehen....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Di 29.05.2007 | | Autor: | Michi1 |
....also kann natürlich auch sein dass dies unnötige Gedankengänge sind und sich mit der richtigen Lösung von selbst ergeben,auf die ich jedoch nicht komme...
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da müsste es schon irgendwas Allgemeines geben, nur muss ich da leider passen. Mich würde das auch interessieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Do 31.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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