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| Aufgabe | a)
Gegeben seien die Vektoren [mm] v_{1}=(1,0,1), v_{2}=(2,1,1) [/mm] und [mm] v_{3}=(-1,2,0) \in \IR^{3}. [/mm] Es ist [mm] B_{1}={\{v1,v2,v3\}} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^{3}. [/mm] Konstruieren Sie aus [mm] B_{1} [/mm] mit dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren eine Orthonormalbasis [mm] B_{2}!
[/mm]
b)
Sei V ein euklidischer Vektorraum und B = [mm] {\{v_{1},...,v_{n}\}} [/mm] eine Orthonormalbasis von V. Wie kann man einen Vektor w [mm] \in [/mm] V als Linearkombination der Vektoren der Basis B darstellen? Finden Sie eine Methode, die nur auf der Berechnung von Skalarprodukten beruht und beweisen Sie ihre Richtigkeit!
Stellen Sie mit dieser Methode den Vektor w=(2,-1,1) als Linearkombination der in a) berechneten Orthonormalbasisvektoren dar! |
Hallo,
ich habe Probleme bei Aufgabe b), ich habe mehrere Sachen ausprobiert aber nie was wirklich brauchbares rausbekommen. Ich kann mir leider auch nicht wirklich vorstellen, wie ich durch ein Skarlarprodukt die Linearkombination der Basisvektoren herausbekomme. Wäre für jede Hilfe/Denkansatz äußerst dankbar.
Zu Aufgabe a): Ich hoffe, dass ich das so richtig gemacht habe, vielleicht könnte da ja mal kurz jemand reinsehen, ob ich nicht auch schon hier einen Denkfehler gemacht habe.
Also, den Vektor [mm] v_{1} [/mm] normalisiere ich nur, also [mm] \bruch{v_{1}}{||v_{1}||} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{1 \\ 0 \\ 1}}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}} [/mm] = [mm] w_{1}
[/mm]
[mm] v_{2}' [/mm] = [mm] <\vektor{2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}}> \* w_{1} [/mm] = [mm] \bruch{3}{\wurzel{2}} \* \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{3}{2} \\ 0 \\ \bruch{3}{2}} [/mm]
[mm] w_{2}' [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] - [mm] v_{2}' [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ -\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] w_{2} [/mm] = [mm] \bruch{w_{2}'}{||w_{2}'||} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ -\bruch{1}{2}}}{\wurzel{\bruch{3}{2}}} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2\wurzel{\bruch{3}{2}}} \\ \bruch{1}{\wurzel{\bruch{3}{2}}} \\ -\bruch{1}{2\wurzel{\bruch{3}{2}}}}
[/mm]
[mm] v_{3}' [/mm] = < [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{\bruch{1}{2\wurzel{\bruch{3}{2}}} \\ \bruch{1}{\wurzel{\bruch{3}{2}}} \\ \bruch{1}{2\wurzel{\bruch{3}{2}}}}> \* w_{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2\wurzel{\bruch{3}{2}}} \* \vektor{\bruch{1}{2\wurzel{\bruch{3}{2}}} \\ \bruch{1}{\wurzel{\bruch{3}{2}}} \\ -\bruch{1}{2\wurzel{\bruch{3}{2}}}} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ -\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] w_{3}' [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] - [mm] v_{3}' [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{3}{2} \\ 1 \\ \bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] w_{3} [/mm] = [mm] \bruch{w_{3}'}{||w_{3}'||} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{-\bruch{3}{2} \\ 1 \\ \bruch{1}{2}}}{\wurzel{\bruch{7}{2}}} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{3}{2\wurzel{\bruch{7}{2}}} \\ \bruch{1}{\wurzel{\bruch{7}{2}}} \\ \bruch{1}{2\wurzel{\bruch{7}{2}}}}
[/mm]
Die ONB [mm] B_{2} [/mm] ist also [mm] \{w_{1},w_{2},w_{3}\} [/mm] = [mm] \{\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}}, \vektor{\bruch{1}{2\wurzel{\bruch{3}{2}}} \\ \bruch{1}{\wurzel{\bruch{3}{2}}} \\ -\bruch{1}{2\wurzel{\bruch{3}{2}}}}, \vektor{-\bruch{3}{2\wurzel{\bruch{7}{2}}} \\ \bruch{1}{\wurzel{\bruch{7}{2}}} \\ \bruch{1}{2\wurzel{\bruch{7}{2}}}}\}
[/mm]
Dazu noch eine Frage: Es ist zwar [mm] =0 [/mm] und auch [mm] =0, [/mm] aber [mm] [/mm] ist ungleich 0, das heisst [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{3} [/mm] sind nicht orthogonal zueinander, habe ich da einen Fehler gemacht? Weil doch eigentlich jeder Vektor auf jedem anderen senkrecht stehen muss in einer ONB?
Ich bedanke mich jetzt schon mal im Voraus
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Im Moment hast du aus [mm] w_3 [/mm] nur den Anteil in Richtung [mm] w_2 [/mm] herausgerechnet, nicht aber den Anteil Richtung [mm] w_1. [/mm] Insofern ist es auch kein Wunder, dass [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_3 [/mm] nicht orthogonal sind.
Du solltest das Verfahren noch einmal mit [mm] w_3 [/mm] und [mm] w_1 [/mm] wiederholen, dann müsste das richtige Ergebnis dastehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Di 15.05.2007 | | Autor: | rainman_do |
ah ja danke. habs mal durchgerechnet und jetzt stimmts. Der "neue" Vektor [mm] w_{3} [/mm] ist also [mm] \{\vektor{-\bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}}}\}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Di 15.05.2007 | | Autor: | rainman_do |
Hat sich alles schon erledigt. Mein erste Idee zu Aufg. b war doch richtig, nur kam dabei Unsinn heraus, weil ich die falsche ONB errechnet hatte 
Das Verfahren ist eigentlich recht simpel:
Mit [mm] [/mm] = [mm] k_{i} [/mm] mit [mm] v_{1,...,n} \in [/mm] B, w [mm] \in [/mm] V und [mm] k_{1,...,n} \in \IR [/mm] berechnet man den Koeffizienten [mm] k_{i} [/mm] des i-ten Basisvektors (um w als Linearkombination der [mm] v_{i} [/mm] darzustellen)
danke
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Ich war wohl doch etwas zu schnell, also das Verfahren funktioniert, da bin ich mir sicher, allerdings bräuchte ich noch etwas Hilfe beim Beweis der Richtigkeit, da komme ich nicht wirklich weiter. Vielen Dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 23.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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