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| Aufgabe | Wir betrachten den [mm] \IR_3 [/mm] mit dem Skalarprodukt [mm] =x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3
[/mm]
Mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens berechne man aus der Basis [mm] v_1=(2,1,0),v_2=(0,-1.3),v_3=(-3,0,1) [/mm] eine Orthonormalenbasis des [mm] \IR_3 [/mm] |
Hallo erstmal!
Also...die Aufgabe sollte ja an sich nicht schwer sein. Aber ich bekomme für meinen zweiten Basisvektor so eine Grütze raus, das kann nicht stimmen...
Also, als erstes hab ich [mm] v_1 [/mm] normiert.
[mm] \vec{b_1}=\vektor{2 \\ 1\\0}*\bruch{1}{\wurzel{6}}
[/mm]
das sollte soweit noch richtig sein.
für [mm] b_2 [/mm] bekomme ich dann was raus, das trau ich mich garnicht zu posten...
Könnte mir jemand den [mm] b_2 [/mm] posten, damit ich das nachvollziehen kann?
Schon mal vielen Dank!
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> Wir betrachten den [mm]\IR_3[/mm] mit dem Skalarprodukt
> [mm]=x_1y_2+2x_2y_2+3x_3y_3[/mm]
> Mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens berechne man aus der
> Basis [mm]v_1=(2,1,0),v_2=(0,-1.3),v_3=(-3,0,1)[/mm] eine
> Orthonormalenbasis des [mm]\IR_3[/mm]
> Hallo erstmal!
>
> Also...die Aufgabe sollte ja an sich nicht schwer sein.
> Aber ich bekomme für meinen zweiten Basisvektor so eine
> Grütze raus, das kann nicht stimmen...
>
> Also, als erstes hab ich [mm]v_1[/mm] normiert.
>
> [mm]\vec{b_1}=\vektor{2 \\ 1\\0}*\bruch{1}{\wurzel{6}}[/mm]
>
> das sollte soweit noch richtig sein.
Hallo,
Du solltest das nochmal nachrechnen, und wenn Du wieder dassselbe herausbekommst, hier vorrechnen.
Gruß v. Angela
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Hallo!
[mm] \bruch{1}{\parallel v_1\parallel}*v_1
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1*2^2+2*1^2+3*0^2}}*v_1
[/mm]
und das ist doch
[mm] \vec{b_1}=\vektor{2 \\ 1\\0}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{6}}
[/mm]
oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Do 23.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rainer!
Du rechnest hier mit einer falschen Betragsformel. Diese lautet korrekt:
[mm] $\left| \ \vec{v}_1 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\vektor{x\\y\\z} \right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2}$
[/mm]
Damit komme ich für [mm] $\vec{v}_1 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2\\1\\0}$ [/mm] auf den Wert [mm] $\left| \ \vec{v}_1 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\red{5}}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Hallo!
In der Aufgabe ist das Skalarprodukt aber anders definiert oder nicht?
$ [mm] =x_1y_2+2x_2y_2+3x_3y_3 [/mm] $
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Hi,
> Hallo!
>
> In der Aufgabe ist das Skalarprodukt aber anders definiert
> oder nicht?
>
> [mm]=x_1y_2+2x_2y_2+3x_3y_3[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ganz genau, und dieses Skalarprodukt musst du bei deinen Rechnungen verwenden - s. anderen post von gerade eben... 
LG
schachuzipus
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Moment mal,
hier stimmt doch was nicht...
du musst doch bzgl. des gegebenen Slalarproduktes normieren!!
Zuerst [mm] ortho\underline{gonalisiere} [/mm] die Vektoren [mm] v_1,v_2,v_3
[/mm]
Benutze dazu Gram-Schmidt und das gegebene Skalarprodukt
Dabei setzt man den ersten Vektor [mm] u_1:=v_1
[/mm]
Dann ist [mm] u_2=v_2-\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\cdot{}u_1
[/mm]
und [mm] u_3=...
[/mm]
Anschließend normieren:
für [mm] u_1 [/mm] ist [mm] ||u_1||=\sqrt{\langle u_1,u_1\rangle}=\sqrt{2\cdot{}1+2\cdot{}1+0\cdot{}0}=2
[/mm]
Also [mm] \frac{u_1}{||u_1||}=\vektor{1\\\frac{1}{2}\\0}
[/mm]
LG
schachuzipus
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Jo!
Verdammt...ich hab die Frage falsch gepostet... das Skalarprodukt ist nicht:
$ [mm] =x_1y_2+2x_2y_2+3x_3y_3 [/mm] $
sondern:
$ <x,y>= [mm] x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3 [/mm] $
Sorry!!!
Deswegen müsste mein [mm] b_1 [/mm] richtig sein...
Könnte mir jemand freundlicher weise den [mm] b_2 [/mm] berechnen? Das war ja mein ursprüngliches Problem...
Vielen Dank
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Oi,
ok, versuchen wir's mal...
Also zuerst mit G-S orthogonalisieren:
[mm] b_1=v_1=\vektor{2\\1\\0}
[/mm]
Damit ist [mm] ||b_1||=\sqrt{\langle b_1,b_1\rangle}=\sqrt{\langle\vektor{2\\1\\0},\vektor{2\\1\\0}\rangle}=\sqrt{2\cdot{}2+2\cdot{}1\cdot{}1+3\cdot{}0\cdot{}0}=\sqrt{6}
[/mm]
Also der erste Vektor der ONB [mm] \tilde{b}_1=\frac{1}{\sqrt{6}}\vektor{2\\1\\0}
[/mm]
[mm] b_2=v_2-\frac{\langle v_2,b_1\rangle}{\langle b_1,b_1\rangle}\cdot{}b_1
[/mm]
Dazu berechnen wir mal [mm] \langle v_2,b_1\rangle [/mm] :
[mm] \langle v_2,b_1\rangle=\langle\vektor{0\\-1\\3},\vektor{2\\1\\0}\rangle=0\cdot{}2+2\cdot{}(-1)\cdot{}1+3\cdot{}3\cdot{}0=-2
[/mm]
Also [mm] b_2=\vektor{0\\-1\\3}-\frac{-2}{6}\cdot{}\vektor{2\\1\\0}=\frac{1}{3}\vektor{2\\-2\\9}
[/mm]
Dann noch [mm] b_2 [/mm] normieren, also [mm] ||b_2||=\sqrt{\langle b_2,b_2\rangle}=\sqrt{\frac{2}{3}\cdot{}\frac{2}{3}+2\cdot{}\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot{}\left(-\frac{2}{3}\right)+3\cdot{}3\cdot{}3}=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{8}{9}+27}=\sqrt{\frac{255}{9}}
[/mm]
Also ist der zweite Vektor der ONB [mm] \tilde{b}_2=\frac{3}{\sqrt{255}}\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}\vektor{2\\-2\\9}=\frac{1}{\sqrt{255}}\cdot{}\vektor{2\\-2\\9}
[/mm]
Alles ohne Gewähr
LG
schachuzipus
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Ja, vielen Dank!
Also ich bekomm da immernoch was anderes raus...ich gebs auf und werd mir das morgen nochmal erklären lassen.
Aber vielen Dank für deine Mühe!
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