Gram-Schmidt-Verfahren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Sierra |
| Aufgabe | Es sei [mm] X:=L^{2}(\IR,e^{-x^{2}/2}) [/mm] der Hilbertraum komplexer Funktionen f(x) auf [mm] \IR [/mm] mit [mm] :=\integral{\overline{f}(x)g(x)e^{-x^{2}/2} dx}
[/mm]
Es sei [mm] \beta={p_{0}(x), p_{1}(x), p_{2}(x), ...} [/mm] das ON-System der Polynome mit [mm] Grad(p_{i})=i, [/mm] mit System [mm] P={1,x,x^{2},x^{3},...}.
[/mm]
Mit dem G-S-Verfahren sind die ersten 4 Polynome des orthonormierten Systems zu finden. |
Hallo,
das Gram-Schmidt-Verfahren ist mir aus der linearen Algebra bekannt, leider weiß ich überhaupt nicht, wie man es in der Funktionalanalysis benutzt.
So auch bei der Beispielaufgabe oben. Ich habe überhaupt keinen Ansatz, wie man das Verfahren nun anwenden soll. Ich meine mal gelesen zu haben, dass man hier die Hermitepolynome findet, weiß aber nicht, wie man dahin kommt.
Bin für jede Hilfe/ jeden Hinweis dankbar.
Gruß Sierra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mi 15.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]X:=L^{2}(\IR,e^{-x^{2}/2})[/mm] der Hilbertraum komplexer
> Funktionen f(x) auf [mm]\IR[/mm] mit
> [mm]:=\integral{\overline{f}(x)g(x)e^{-x^{2}/2} dx}[/mm]
>
> Es sei [mm]\beta={p_{0}(x), p_{1}(x), p_{2}(x), ...}[/mm] das
> ON-System der Polynome mit [mm]Grad(p_{i})=i,[/mm] mit System
> [mm]P={1,x,x^{2},x^{3},...}.[/mm]
> Mit dem G-S-Verfahren sind die ersten 4 Polynome des
> orthonormierten Systems zu finden.
> Hallo,
>
> das Gram-Schmidt-Verfahren ist mir aus der linearen Algebra
> bekannt, leider weiß ich überhaupt nicht, wie man es in
> der Funktionalanalysis benutzt.
Das geht ganz genauso ! Gehe vor wie in
http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens
FRED
>
> So auch bei der Beispielaufgabe oben. Ich habe überhaupt
> keinen Ansatz, wie man das Verfahren nun anwenden soll. Ich
> meine mal gelesen zu haben, dass man hier die
> Hermitepolynome findet, weiß aber nicht, wie man dahin
> kommt.
> Bin für jede Hilfe/ jeden Hinweis dankbar.
>
> Gruß Sierra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
da [mm] \beta [/mm] nun mein ON-System ist wäre nach dem Algorithmus
[mm] v_{1}=p_{0}(x) [/mm] ?
Wie gesagt, kenne das Verfahren nur aus der LA --> mit Vektoren...
Sierra
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Hallo,
ja deine erste Funktion ist also [mm] $v_1=1$. [/mm] Da es bei einer Funktion noch nichts zu othogonalisieren gibt, starte mit der Normierung. Zu berechnen ist also
[mm] \|v_1\|=\sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle }
[/mm]
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
naja gut, da [mm] v_{1} [/mm] ein Skalar ist, ist doch [mm] ||v_{1}||=1
[/mm]
und [mm] v_{2}'=x [/mm] - <x,1>*1 ?
würde wohl nicht soviel Sinn machen, oder?
Ich weiß auch ehrlich gesagt nicht, was es mit [mm] Grad(p_{i})=i [/mm] auf sich hat...
Gruß Sierra
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> Hallo,
Hallo,
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> naja gut, da [mm]v_{1}[/mm] ein Skalar ist, ist doch [mm]||v_{1}||=1[/mm]
Die Norm ist doch nicht 1. Setze doch mal die 1 in das vorgegebene Skalarprodukt ein.
Patrick
>
> und [mm]v_{2}'=x[/mm] - <x,1>*1 ?
> würde wohl nicht soviel Sinn machen, oder?
>
> Ich weiß auch ehrlich gesagt nicht, was es mit
> [mm]Grad(p_{i})=i[/mm] auf sich hat...
>
> Gruß Sierra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Do 16.09.2010 | | Autor: | Sierra |
Oh man oh man, ich danke dir... der erste Groschen ist schon mal gefallen...
Ich finde nun leider nicht, was [mm] \overline{f}(x) [/mm] bedeutet ..
Ansonsten wäre <1,1> = [mm] \integral{e^{-x^{2}/2} dx} [/mm] = [mm] \wurzel{\pi/2}
[/mm]
womit [mm] v_{2}'=x [/mm] - [mm] *\wurzel{\pi/2} [/mm] schon mehr Sinn machen würde.
Wie gesagt, ich weiß leider nicht was der Querstrich über der Funktion f(x) bedeutet..
Liebe Grüße
Sierra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Do 16.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Ist f [mm] \in [/mm] X, so ist f eine Funktion [mm] $f:\IR \to \IC$.
[/mm]
Dann : [mm] \overline{f}(x):= \overline{f(x)}
[/mm]
(komplexe Konjugation)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Do 16.09.2010 | | Autor: | Sierra |
Ach ja, danke ... habe die komplexe Konjugation zuletzt immer mit * gekennzeichnet gesehen ...
Stimmt denn die Rechnung aus meiner vorherigen Frage? das komplex konjugieren ändert doch eigentlich nichts.. ?
Gruß Sierra
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Ja, oben genanntes stimmt.
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