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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 So 13.11.2011 | | Autor: | JohnB |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Im Raum P_{n} definiere man das innere Produkt durch
$(p,q)=\integral_{0}^{1}{p(x)*\overline{q(x)} dx}$
für $p,q \in P_{n}$
Man wende das Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt auf das System ${1,z,z^2}$ im Raum $P_{2}$ an, um die Orthogonalbasis
${1, \wurzel[2]{3}*(2*z-1), \wurzel[2]{5}*(6*z^2-6*z+1)$
im $P_{2}$ zu bekommen. |
$P_{n}$ ist die Menge der Polynome, wie aus vorherigen Aufgabenstellungen ersichtlich ist.
Dass der erste Teil der Orthogonalbass 1 ist, ist trivial, ab dem zweiten frage ich mich, wie man das genau macht.
Ich versuche einfach, meinen Weg dazustellen und vielleicht findet ihr ja die Fehler.
Da das System aus Polynomen besteht, ist auch Zweiteres ein Polynom mit $p(z)=0*z^2+1*z+0=z$ ,
soweit ich das verstehe.
Die Formel zur Berechnung der Basis:
$v_{n}=\bruch{w_{n}-\summe_{i=1}^{n-1}(w_{n},v_{i})*v_{i}}{\parallel w_{n}-\summe_{i=1}^{n-1}(w_{n},v_{i})*v_{i}\parallel}$
Um die zweite Basis auszurechnen: $w_{n}=w_{2}=z$
Erstmal der Zähler: $w_{2}-\summe_{i=1}^{2-1}(w_{2},v_{1})*v_{1}=z-(z,1)*1$
Das Skalarprodukt kann ich mit der Definition oben berechnen:
$\integral_{0}^{1}{z dz}=\bruch{1}{2}$
Daraus ergibt sich im Zähler:
$z-\bruch{1}{2}$
Für den gesamten Bruch:
$\bruch{z-0,5}{\wurzel[2]{\integral_{0}^{1}{(z-0,5)*(z-0,5) dz}}}=\bruch{z-0,5}{\bruch{\wurzel[2]{105}}{15}}=\bruch{\wurzel[2]{105}*(2+z-1)}{14}$
Das ist ja nicht das Gleiche, wie in der Aufgabestellung steht.
Wo liegt mein Fehler? :(
Danke für Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 So 13.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Im Raum [mm]P_{n}[/mm] definiere man das innere Produkt durch
> [mm](p,q)=\integral_{0}^{1}{p(x)*\overline{q(x)} dx}[/mm]
> für [mm]p,q \in P_{n}[/mm]
>
> Man wende das Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt
> auf das System [mm]{1,z,z^2}[/mm] im Raum [mm]P_{2}[/mm] an, um die
> Orthogonalbasis
> [mm]{1, \wurzel[2]{3}*(2*z-1), \wurzel[2]{5}*(6*z^2-6*z+1)[/mm]
> im
> [mm]P_{2}[/mm] zu bekommen.
>
>
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>
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>
> [mm]P_{n}[/mm] ist die Menge der Polynome, wie aus vorherigen
> Aufgabenstellungen ersichtlich ist.
>
> Dass der erste Teil der Orthogonalbass 1 ist, ist trivial,
> ab dem zweiten frage ich mich, wie man das genau macht.
> Ich versuche einfach, meinen Weg dazustellen und
> vielleicht findet ihr ja die Fehler.
>
> Da das System aus Polynomen besteht, ist auch Zweiteres ein
> Polynom mit [mm]p(z)=0*z^2+1*z+0=z[/mm] ,
> soweit ich das verstehe.
>
> Die Formel zur Berechnung der Basis:
>
> [mm]v_{n}=\bruch{w_{n}-\summe_{i=1}^{n-1}(w_{n},v_{i})*v_{i}}{\parallel w_{n}-\summe_{i=1}^{n-1}(w_{n},v_{i})*v_{i}\parallel}[/mm]
>
> Um die zweite Basis auszurechnen: [mm]w_{n}=w_{2}=z[/mm]
>
> Erstmal der Zähler:
> [mm]w_{2}-\summe_{i=1}^{2-1}(w_{2},v_{1})*v_{1}=z-(z,1)*1[/mm]
>
> Das Skalarprodukt kann ich mit der Definition oben
> berechnen:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{z dz}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich im Zähler:
>
> [mm]z-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Für den gesamten Bruch:
>
> [mm]\bruch{z-0,5}{\wurzel[2]{\integral_{0}^{1}{(z-0,5)*(z-0,5) dz}}}=\bruch{z-0,5}{\bruch{\wurzel[2]{105}}{15}}=\bruch{\wurzel[2]{105}*(2+z-1)}{14}[/mm]
>
> Das ist ja nicht das Gleiche, wie in der Aufgabestellung
> steht.
>
> Wo liegt mein Fehler? :(
Du hast dich beim Integral im Nenner verrechnet: [mm]\integral_0^1\left(z-\bruch{1}{2}\right)^2dz = \bruch{1}{12}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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