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| Aufgabe | | Bestimmen sie durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die ersten fünf Elemente der Menge [mm] M:=\{x_{n}\in L^{2}((-1,1),\IR):x_{n}(t)=t^{n},n=0,1,2,3,...\} [/mm] ein Orthonormalsystem [mm] S=\{e_{0},...,e_{4}\} [/mm] in [mm] L^{2}((-1,1),\IR) [/mm] mit [mm] span\{S\}=span\{x_{n}:n=0,...,4\} [/mm] |
Hallo,
Ich brauche einen kleinen Tipp bei der Ausführung des Gram-Schmidt-Verfahrens.
[mm] x_{0}=t^{0}=1
[/mm]
[mm] e_{0}=\bruch{x_{0}}{\parallel x_{0}\parallel}=e_{x_{0}} [/mm] was ja eigentlich [mm] e_{x} [/mm] ist.
[mm] e'_{1}=x_{2}-*e_{0}
[/mm]
[mm] e_{1}=\bruch{e'_{1}}{\parallel e'_{1}\parallel}
[/mm]
[mm] x_{1}=t
[/mm]
Das Skalarprodukt in [mm] L^{2}((-1,1),\IR) [/mm] ist mit [mm] \integral_{-1}^{1}{f(x)g(x) dx} [/mm] definiert.
Also habe ich [mm] =\integral_{-1}^{1}{e_{0}*t dt}
[/mm]
Nehme ich jetzt hier einfach [mm] e_{0}=1 [/mm] und [mm] x_{1}=t [/mm] und es folgt [mm] =\integral_{-1}^{1}{t dt}=0 [/mm] und es würde sich für [mm] e_{1}'=t [/mm] ergeben und daraus weiter [mm] e_{1}=\bruch{t}{\parallel t\parallel}=e_{t}?
[/mm]
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen meine vorübergehende Konfusion zu überwinden.
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt
MfG
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> Bestimmen sie durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens
> auf die ersten fünf Elemente der Menge [mm]M:=\{x_{n}\in L^{2}((-1,1),\IR):x_{n}(t)=t^{n},n=0,1,2,3,...\}[/mm]
> ein Orthonormalsystem [mm]S=\{e_{0},...,e_{4}\}[/mm] in
> [mm]L^{2}((-1,1),\IR)[/mm] mit [mm]span\{S\}=span\{x_{n}:n=0,...,4\}[/mm]
Hallo,
mal zum Sortieren für mich:
[mm] span\{S} [/mm] wird erzeugt von 1, x, [mm] x^2, x^3, x^4,
[/mm]
also ist [mm] Span\{S\}=span\{1, x, x^2, x^3, x^4\}.
[/mm]
Die 5 Vektoren sind linear unabhängig, also eine Basis von [mm] Span\{S\}, [/mm] und Du sollst aus diesen nun mithilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine ONB herstellen. Die 5 Vektoren der ONB sollen [mm] e_0,...,e_4 [/mm] heißen.
Das Skalarprodukt auf dem Dir vorliegenden Raum ist gegeben durch <f(x), [mm] g(x)>:=\integral_{-1}^{1}{f(x)g(x) dx},
[/mm]
und es ist
[mm] \parallel f(x)\parallel =\wurzel{\integral_{-1}^{1}{(f(x))^2dx}}
[/mm]
> [mm]x_{0}=t^{0}=1[/mm]
>
Jetzt normieren:
> [mm] e_{0}=\bruch{x_{0}}{\parallel x_{0}\parallel}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\parallel 1\parallel}
[/mm]
Genau. Und was kommt raus, wenn Du normiert hast?
> [mm]e_{0}=\bruch{x_{0}}{\parallel x_{0}\parallel}=e_{x_{0}}[/mm] was
> ja eigentlich [mm]e_{x}[/mm] ist.
??? Ich glaub, das ist ziemlicher Blödsinn...
>
> [mm]e'_{1}=x_{2}-*e_{0}[/mm]
Wäre jetzt nicht erstmal [mm] x_1 [/mm] zu verwursten, wenn man die Reihenolge einhält?
Das Skalarprodukt mußt Du ausführen,
> [mm]e_{1}=\bruch{e'_{1}}{\parallel e'_{1}\parallel}[/mm]
und anschließend die Normierung.
Und dann machst Du weiter mit Gram-Schmidt bis zum bitteren Ende.
Am Schluß hast Du 5 Polynome.
>
> [mm]x_{1}=t[/mm]
> Das Skalarprodukt in [mm]L^{2}((-1,1),\IR)[/mm] ist mit
> [mm]\integral_{-1}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm] definiert.
> Also habe ich [mm]=\integral_{-1}^{1}{e_{0}*t dt}[/mm]
Genau.
>
> Nehme ich jetzt hier einfach [mm]e_{0}=1[/mm]
[mm] e_0 [/mm] ist nicht =1.
Du mußt die Norm bzgl des hier vorliegenden Skalarproduktes berechnen, s.o.
> und [mm]x_{1}=t[/mm] und es
> folgt [mm]=\integral_{-1}^{1}{t dt}=0[/mm]
Es muß [mm] [/mm] heißen, und [mm] e_0 [/mm] ist nicht =1,
aber Du hast das Wesentliche verstanden: Du mußt dieses durchs Integral definierte Skalarprodukt nehmen.
LG Angela
> und es
> würde sich für [mm]e_{1}'=t[/mm] ergeben und daraus weiter
> [mm]e_{1}=\bruch{t}{\parallel t\parallel}=e_{t}?[/mm]
>
> Ich hoffe Ihr könnt mir helfen meine vorübergehende
> Konfusion zu überwinden.
>
> Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt
> MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Di 21.05.2013 | | Autor: | Approximus |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Hilfe. Mit der richtigen Norm macht das ganze natürlich mehr Sinn. Ich war aus irgend einem Grund bei der euklidischen Norm.
[mm] \parallel [/mm] 1 [mm] \parallel=\wurzel{2}
[/mm]
und damit ergibt sich für [mm] e_{0}=\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
naja und den Rest weiter nach dem Gram-Schmidt-Verfahren.
Viele Grüße.
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