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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Mo 08.02.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Grundlegender Eigenschaften des Gram-Schmidt-Verfahrens:
Aus einer Folge [mm] (u_n) [/mm] von linear unabhängigen Elementen eines euklidischen Vektorraums wird eine Orthonormalfolge [mm] (b_n) [/mm] so konstruiert, dass
[mm] = \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}
[/mm]
Zeige, dass die Folge [mm] (b_n) [/mm] durch diese Gleichung und die Eigenschaft der Orthogonalität bis auf konstante Faktoren eindeutig bestimmt ist. |
Hallo,
Als Hinweis war Induktion gegeben.
Für n=1:
Ein Element muss bei der orthonormalisierung nur durch seine Norm dividiert werden da gibt es keine anderen Möglichkeiten.
n [mm] \rightarrow [/mm] n+1
Sei die Aussage für n richtig.
Sei nun [mm] g_1,..,g_{n+1} [/mm] eine Orthonormalfolge sodass [mm] ==.
[/mm]
[mm] ZZ.:\{b_1,..,b_{n+1}\} [/mm] stimmt bis auf einen konstanten Faktor mit [mm] \{g_1,..,g_{n+1} \} [/mm] überein.
Trivialerweise ist auch [mm] g_1,..,g_n [/mm] eine Orthonormalfolge die einen n-Dimensionalen Raum erzeugt.
Ich hatte noch nicht die richtige Idee für den Beweis. Habt ihr Tipps?
LG,
Sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:19 Di 09.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Grundlegender Eigenschaften des Gram-Schmidt-Verfahrens:
> Aus einer Folge [mm](u_n)[/mm] von linear unabhängigen Elementen
> eines euklidischen Vektorraums wird eine Orthonormalfolge
> [mm](b_n)[/mm] so konstruiert, dass
> [mm]= \forall[/mm] n [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
Ich gehe davon aus, dass $<....>$ die lineare Hülle bezeichnet.
>
> Zeige, dass die Folge [mm](b_n)[/mm] durch diese Gleichung und die
> Eigenschaft der Orthogonalität bis auf konstante Faktoren
> eindeutig bestimmt ist.
> Hallo,
> Als Hinweis war Induktion gegeben.
> Für n=1:
> Ein Element muss bei der orthonormalisierung nur durch
> seine Norm dividiert werden da gibt es keine anderen
> Möglichkeiten.
> n [mm]\rightarrow[/mm] n+1
> Sei die Aussage für n richtig.
> Sei nun [mm]g_1,..,g_{n+1}[/mm] eine Orthonormalfolge sodass
> [mm]==.[/mm]
> [mm]ZZ.:\{b_1,..,b_{n+1}\}[/mm] stimmt bis auf einen konstanten
> Faktor mit [mm]\{g_1,..,g_{n+1} \}[/mm] überein.
> Trivialerweise ist auch [mm]g_1,..,g_n[/mm] eine Orthonormalfolge
> die einen n-Dimensionalen Raum erzeugt.
>
> Ich hatte noch nicht die richtige Idee für den Beweis.
> Habt ihr Tipps?
>
> LG,
> Sissi
Ich formuliere die Aufgabe mal so: dabei sei $(*|*)$ das Skalarprodukt auf dem eukl. Vektoraum V.
Gegeben sind zwei Orthonormalfolgen [mm] (b_n) [/mm] und [mm] (g_n) [/mm] in V. Es gilt also
$ [mm] (b_j|b_k)=0 [/mm] = [mm] (g_j|g_k)=0$ [/mm] für j [mm] \ne [/mm] k
und
[mm] $(b_j|b_j)=1 [/mm] = [mm] (g_j|g_j)$ [/mm] .
Weiter sei
$ [mm] = \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] $.
Zu zeigen ist: zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ex. ein Skalar [mm] \alpha_n [/mm] mit [mm] $b_n=\alpha_n g_n$.
[/mm]
(da [mm] g_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] normiert sind, ist $ [mm] |\alpha_n|=1$)
[/mm]
Den Beweis führen wir induktiv.
Induktionsanfang: aus $ [mm] =$ [/mm] folgt: [mm] b_1= \alpha_1 g_1 [/mm] mit einem Skalar [mm] \alpha_1.
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: sei n [mm] \in \IN [/mm] und es ex. Skalare [mm] \alpha_j [/mm] mit [mm] $b_j=\alpha_j g_j$ [/mm] für j=1,...,n.
Induktionsschritt:
Aus $ [mm] = [/mm] $ folgt [mm] b_{n+1} \in . [/mm] Somit gibt es Skalare [mm] \beta_1,...,\beta_{n+1} [/mm] mit
[mm] b_{n+1}=\summe_{k=1}^{n+1}\beta_kg_k.
[/mm]
Dann ist [mm] \beta_k=(b_{n+1}|g_k) [/mm] für k=1,...,n+1.
Für k=1,...,n ist dann nach Induktionsvor.
[mm] \beta_k=(b_{n+1}| \bruch{1}{\alpha_k} b_k) [/mm] =0.
Somit haben wir
[mm] b_{n+1}=\beta_{n+1}g_{n+1}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Mi 10.02.2016 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank für die Hilfe!
Die Eigenschaft hab ich nämlich noch nie gehört und fand sie deshalb sehr interessant.
Ich dachte vorher, dass man einen Faktor [mm] \alpha [/mm] für alle Polynome braucht! Da hab ich wohl die Aussage des Satzes falsch verstanden und bin deshalb nie im Beweis vorangekommen.
LG,
sissi
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