Gram-Schmidt / QR-Zerlegung < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
So, hab' mir jetzt immerhin schon das Gram-Schmidt-Verfahren angeguckt...
Meine Aufgaben lautet:
Stelle die Gram-Schmidt Orthonormalisierung als Verfahren zur QR-Zerlegung einer Matrix [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] dar.
Ich habe jetzt schon mal festgestellt, dass man beim Gram-Schmidt-Verfahren ja eine orthonormale Basis findet und bei der QR-Zerlegung erhält man eine orthogonale Matrix. Die beiden könnten also etwas "miteinander zu tun" haben.
Ich verstehe aber schon mal die Aufgabenstellung nicht so ganz:
Soll ich jetzt mithilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine QR-Zerlegung machen oder mit der QR-Zerlegung eine orthonormale Basis finden?
Hat vielleicht außerdem jemand noch einen Tipp, wie ich da ansetzen könnte?
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich denke du sollst zeigen, wie man mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die QR-Zerlegung kommt.
Das ginge dann so:
Es sei [mm] $A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \end{pmatrix}$, [/mm] d.h. [mm] $a_k$ [/mm] sei die $k$-te Spalte der Matrix $A$.
1) Setze für [mm] $k=1,2,\ldots,n$:
[/mm]
[mm] $q_k' [/mm] := [mm] a_k$.
[/mm]
2) Berechne für [mm] $i=1,2,\ldots,k-1$:
[/mm]
[mm] $r_{ik} [/mm] = [mm] q_i^T a_k$,
[/mm]
[mm] $q_k' [/mm] = [mm] q_k' [/mm] - [mm] r_{ik} q_i$.
[/mm]
3) Berechne:
[mm] $r_{kk}:= \Vert q_k' \Vert_2$.
[/mm]
4) Setze:
[mm] $q_k:= \frac{q_k'}{r_{kk}}$.
[/mm]
5) Setze:
$Q:= [mm] \begin{pmatrix}q_1 & q_2 & \ldots & q_n \end{pmatrix}$
[/mm]
$R:= [mm] \begin{pmatrix} r_{11} & r_{12}& \ldots & r_{1,n-1}& r_{1n} \\ 0 & r_{22} & \ldots & r_{2,n-1} & r_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & r_{n-1,n-1} & r_{n-1,n} \\ 0 & \ldots & 0 & 0 & r_{nn} \end{pmatrix}$.
[/mm]
Aus dem Algorithmus ist ersichtlich, dass
[mm] $q_k' =a_k [/mm] - [mm] \sum\limits_{i=1}^{k-1} r_{ik} q_i$
[/mm]
und somit:
[mm] $a_k [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^k r_{ik} q_i$
[/mm]
gilt, also:
$A=Q [mm] \cdot [/mm] R$.
Die Orthogonalität von $Q$ wurde bei der Behandlung des Gram-Schmidt-Verfahren bereits gezeigt.
Ich hoffe ich konnte dir damit noch rechtzeitig helfen (jedenfalls ist die Fälligkeit noch nicht abgelaufen  ).
Liebe Grüße
Stefan
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