matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-NumerikGram-Schmidt für Polynome
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Numerik" - Gram-Schmidt für Polynome
Gram-Schmidt für Polynome < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gram-Schmidt für Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Mi 02.12.2020
Autor: inkeddude

Guten Abend, ich beschäftige mich zurzeit mit orthogonalen Polynomen.

Meine Frage habe ich schon auf Matheplanet gepostet, aber da hat  sich noch keiner gemeldet, der mir sagt, was ich falsch mache. Vielleicht findet sich hier einer.

Ich tippe kurz die wichtigsten Sachen auf, die im Skript stehen und dann stelle ich meine Frage:


Definition:

Ein gewichtetes Skalarprodukt über dem Raum der zweimal integrierbareb Funktion [mm] $L^{2}([a, [/mm] b])$ auf dem Intervall $[a, b ] [mm] \subseteq \mathbb{R}$ [/mm] sei definiert durch $(p, q) := [mm] \int\limits_{a}^{b} \omega(x) [/mm] p(x) q(x) dx$
Dabei ist [mm] $\omega: [/mm] [a, b] [mm] \rightarrow [/mm] (0, [mm] \infty]$ [/mm] eine integrierbare Gewichtsfunktion.

Satz:

Seien $H$ ein unitärer Raum und $S [mm] \subseteq [/mm] H$ ein endlich dimensionaler Teilraum. Zu jeder Basis $B:= [mm] \{ v_{1}, \ldots, v_{n} \}$ [/mm] von $S$ lässt sich ein OGS mit dem Gram - Schmidt - Algorithmus konstruieren:

[mm] $\varphi_{1} [/mm] := [mm] v_{1}$ [/mm] und für $k = 2, [mm] \ldots, [/mm] n:$ [mm] $\varphi_{k} [/mm] := [mm] v_{k} [/mm] - [mm] \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} \frac{(v_{k}, \varphi_{i})}{(\varphi_{i}, \varphi_{i})}\varphi_{i}$ [/mm]


Auf einem Übungsblatt hatte ich dann folgende Aufgabe zu beweisen:



Die bezüglich der Gewichtsfunktion [mm] $\omega(x)$ [/mm] auf dem Intervall $[a, b]$  orthogonalen Polynome [mm] $p_{k}$ [/mm] erfüllen [mm] $p_{k} [/mm] = [mm] \frac{C_{k}}{\omega(x)} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left [ \omega(x) (x - a)^{k} (b - x)^{k} \right [/mm] ]$, [mm] $C_{k} \in \mathbb{R}$ [/mm]


Den Beweis dieser Aufgabe kann ich. Ich habe gezeigt, dass die Polynome [mm] $p_{k}$ [/mm] alle orthogonal zueinander sind.
Aber mir ist halt immer noch nicht klar, wie genau man auf diese Polynome kommt. Ich bin also eher an einer Herleitung interessiert.
Ist es möglich, diese Polynome herzuleiten oder ist es viel zu kompliziert? Weil nirgends finde ich eine Herleitung. Vielleicht hat man durch orthogonalisieren konkreter Polynome ein Muster erkannt und dieses Muster durch eine Formel ausgedrückt. Ich weiß es nicht.
Wie komme ich auf diese Polynome? Ich würde zunächst die Monombasis $B:= [mm] \{ v_{0} = 1, v_{1} = x, v_{2} = x^{2}, \ldots \}$ [/mm] nehmen und diese bezüglich des obigen Skalarprodukts orthogonalisieren.
Das habe ich gestern und heute ausprobiert, in dem ich [mm] $p_{1}$ [/mm] ausrechnen wollte. Aber da kam ein ganz anderes Ergebnis dabei heraus.


Ich habe folgendes gemacht:



Also ich schaue mir die ersten beide Polynome aus der Aufgabe an:


Für $k = 0$ erhält man:
[mm] $p_{0} [/mm] = [mm] \frac{C_{0}}{\omega(x)} \frac{d^{0}}{dx^{0}} \left [ \omega(x) (x - a)^{0} (b - x)^{0} \right [/mm] ] = [mm] C_{0}$ [/mm]

Für $k = 1$ erhält man:
[mm] $p_{1} [/mm] = [mm] \frac{C_{1}}{\omega(x)} \frac{d^{1}}{dx^{1}} \left [ \omega(x) (x - a)^{1} (b - x)^{1} \right [/mm] ] = [mm] \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left (\frac{d}{dx} [\omega(x) (x - a)] \cdot (b - x) + \omega(x)(x - a) \cdot (- 1) \right [/mm] ) = [mm] \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left ( (\omega'(x) \cdot (x - a) + \omega(x) \cdot 1) \cdot (b - x) + \omega(x)(x - a) \cdot (- 1) \right [/mm] ) = [mm] \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left ( \omega'(x) (x - a)(b - x) + \omega(x) (b - x) - \omega(x)(x - a) \right [/mm] ) $



Jetzt müsste ich durch das Gram-Schmidt-Verfahren die selben Polynome erhalten.

Setze [mm] $\varphi_{0} [/mm] = 1$.

Dann erhalte ich:

[mm] $\varphi_{1} [/mm] = x - [mm] \frac{(x, 1)}{(1,1)} \cdot [/mm] 1 = x - [mm] \frac{\int_{a}^{b} \omega(x) \cdot x \cdot 1 dx}{\int_{a}^{b} \omega(x) \cdot 1 \cdot 1 dx} \cdot [/mm] 1 = x - [mm] \frac{[\int \omega(x) dx \cdot x]_{a}^{b} - \int\limits_{a}^{b} \int \omega(x) dx}{\int_{a}^{b} \omega(x) dx}$ [/mm]

Aber schon hier wird klar, dass ich irgend etwas falsch mache.


Es gilt [mm] $\varphi_{0} [/mm] = 1$ und [mm] $p_{0} [/mm] = [mm] C_{0}$. [/mm]
Okay, die $1$ ist eine Konstante. Die kann man auch [mm] $C_{0}$ [/mm] nennen.

Aber [mm] $\varphi_{1}$ [/mm] sieht überhaupt nicht so aus wie [mm] $p_{1}$. [/mm]
Was mache ich falsch?


        
Bezug
Gram-Schmidt für Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Mi 02.12.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die bezüglich der Gewichtsfunktion [mm]\omega(x)[/mm] auf dem
> Intervall [mm][a, b][/mm]  orthogonalen Polynome [mm]p_{k}[/mm] erfüllen
> [mm]p_{k} = \frac{C_{k}}{\omega(x)} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left [ \omega(x) (x - a)^{k} (b - x)^{k} \right ][/mm], [mm]C_{k} \in \mathbb{R}[/mm]
>  
>
> Den Beweis dieser Aufgabe kann ich. Ich habe gezeigt, dass
> die Polynome [mm]p_{k}[/mm] alle orthogonal zueinander sind.

Dann poste die Antwort doch bei deiner Frage hier, damit andere auch in den Genuss kommen.

>  Aber mir ist halt immer noch nicht klar, wie genau man auf
> diese Polynome kommt. Ich bin also eher an einer Herleitung
> interessiert.

> Ist es möglich, diese Polynome herzuleiten oder ist es
> viel zu kompliziert? Weil nirgends finde ich eine
> Herleitung. Vielleicht hat man durch orthogonalisieren
> konkreter Polynome ein Muster erkannt und dieses Muster
> durch eine Formel ausgedrückt. Ich weiß es nicht.

Das wirds vermutlich sein.

>  Wie komme ich auf diese Polynome? Ich würde zunächst die
> Monombasis [mm]B:= \{ v_{0} = 1, v_{1} = x, v_{2} = x^{2}, \ldots \}[/mm]
> nehmen und diese bezüglich des obigen Skalarprodukts
> orthogonalisieren.

Gute Idee.

> Ich habe folgendes gemacht:
>
> Also ich schaue mir die ersten beide Polynome aus der
> Aufgabe an:
>  
> Für [mm]k = 0[/mm] erhält man:
>   [mm]p_{0} = \frac{C_{0}}{\omega(x)} \frac{d^{0}}{dx^{0}} \left [ \omega(x) (x - a)^{0} (b - x)^{0} \right ] = C_{0}[/mm]

[ok]
Mach dir aber klar, dass die konstanten [mm] C_k [/mm] beliebige reelle Zahlen sind.
Sind die Polynome für eine Konstante orthogonal, so auch für jede andere…

Insbesondere bedeutet das, dass man die Polynome auch schreiben kann als:
[mm]p_{k} = \frac{\tilde{C}_{k}}{\omega(x)} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left [ \omega(x) (x - a)^{k} (x-b)^{k} \right], \tilde{C}_{k} \in \mathbb{R}[/mm]
Beachte die andere Reihenfolge von x und b hinten in der Klammer.
Das aber nur am Rande…

> Für [mm]k = 1[/mm] erhält man:
>   [mm]p_{1} = \frac{C_{1}}{\omega(x)} \frac{d^{1}}{dx^{1}} \left [ \omega(x) (x - a)^{1} (b - x)^{1} \right ] = \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left (\frac{d}{dx} [\omega(x) (x - a)] \cdot (b - x) + \omega(x)(x - a) \cdot (- 1) \right ) = \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left ( (\omega'(x) \cdot (x - a) + \omega(x) \cdot 1) \cdot (b - x) + \omega(x)(x - a) \cdot (- 1) \right ) = \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left ( \omega'(x) (x - a)(b - x) + \omega(x) (b - x) - \omega(x)(x - a) \right )[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


Das gilt natürlich nur, sofern $\omega'(x)$ überhaupt existiert.
Das muss aber gar nicht gelten! $\omega$ ist zu Beginn nämlich nur als stetig vorausgesetzt, nicht als differenzierbar.
Aber das ignorieren wir jetzt der Einfachheit halber mal (und begründen später, warum \omega eben doch differenzierbar ist).

Zuerst machen wir dann noch einen Schritt und ziehen das $\frac{1}{\omega(x)} in die Klammer und bekommen:

$p_{1} = C_1 \left(\frac{\omega'(x)}{\omega(x)}(x - a)(b - x) - 2x + (a+b)\right )$

Nun hast du noch eine wesentliche Eigenschaft der Rodrigues-Formel vergessen.
Dass die Polynome p_k orthogonal sind, gilt nämlich nur dann (und ich zitiere deine ursprüngliche Aufgabenstellung), "falls die rechte Seite ein Polynom vom Grad $ k $ ist."

Das bedeutet hier, dass $\left(\frac{\omega'(x)}{\omega(x)}(x - a)(b - x) - 2x + (a+b)\right )$ ein Polynom vom Grad 1 sein muss.

Das kann es aber nur sein, falls $\frac{\omega'(x)}{\omega(x)} = \frac{c}{(x-a)}, c\not=2$ oder $\frac{\omega'(x)}{\omega(x)} = \frac{c}{(x-b)}, c\not=2$ oder $\frac{\omega'(x)}{\omega(x)} =  \frac{c}{(x-a)(x-b)}, c\in\IR$ gilt, sonst ist das Polynom nämlich vom Grad 2 oder vom Grad 0.

Das wäre dann gleichbedeutend mit $\omega(x) = c(x-a)$ oder $\omega(x) = c(x-b)$ oder $\omega(x) = c\sqrt[b-a]{\frac{(x-a)}{(b-x)}}$, wie man leicht nachrechnet.
Damit ist \omega dann auch differenzierbar und der Kreis von oben schließt sich…

Wenn du jetzt für die zwei ersten Möglichkeiten deinen Ansatz mal durchrechnest:

> [mm]\varphi_{1} = x - \frac{(x, 1)}{(1,1)} \cdot 1 = x - \frac{\int_{a}^{b} \omega(x) \cdot x \cdot 1 dx}{\int_{a}^{b} \omega(x) \cdot 1 \cdot 1 dx} \cdot 1 [/mm]

wirst du feststellen, dass in beiden Fällen dein [mm] \varphi_1 [/mm] von der gewünschten Form ist.

Gruß,
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]