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Graph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Sa 20.05.2006
Autor: Frankster

Aufgabe
M={1,2,3}
A=MxM
R sie die durch ((x1,x2),(y1,y2)) [mm] \in [/mm] R genau dann, wenn [mm] (x_{i},y_{i}) \in [/mm] A und [mm] x_{i} \le y_{i} [/mm] (i=1,2) definierte Relation auf A

a) Ist es eine Äquivalenzrelation oder Halbordnung
b) Äquivalenzklassen oder Hassediagramm zeigen

Menge A ist klar

Ich würde sagen R = (1 1) (1 2) (2 2) wegen [mm] x_{i} \le y_{i} [/mm] (i=1,2)

Es ist keine Äquivalenzrelation weil es nicht symmetrisch ist
(1 2) [mm] \le [/mm] (2 1)  [mm] \Rightarrow [/mm] (2 1) [mm] \le [/mm] (1 2) -> falsch!!

Es handelt sich um eine Halbordnung
Daher wird ein Hasse-Diagramm gezeichnet

{1 1} {1 2} {2 2}
   \  /   \ /
   {1}    {2}
      \   /
        {}

Stimm das ??

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Graph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Sa 20.05.2006
Autor: DaMenge

Hallo,

Mal eine Frage vorne weg : wieso ist das denn Graphentheorie?
ich schiebe es mal unter Diskrete Mathe - obwohl es ja auch irgendwie mengentheoretisch ist..

>  Menge A ist klar
>  
> Ich würde sagen R = (1 1) (1 2) (2 2) wegen [mm]x_{i} \le y_{i}[/mm]
> (i=1,2)


Nein, R ist eine Relation auf A, d.h. die Elemente in R sind aus AxA nicht aus MxM - wenn M die Größe 3 hat, dann hat A die Größe 9 und deshalb AxA die Größe 81 !

Zum Beispiel liegt [mm] $\Big{(} [/mm] (1,2) , [mm] (1,3)\Big{)}$ [/mm] als EIN Element in R
aber zum Beispiel [mm] $\Big{(} [/mm] (1,3) , [mm] (1,2)\Big{)}$ [/mm] liegt NICHT in R !
(und damit keine Symmetrie)

zur antisymmetrie kann man sich aber recht schnell überlegen:
angenommen [mm] $\Big{(} [/mm] (a,b) , [mm] (c,d)\Big{)}$ [/mm] liegt in R
dann liegt [mm] $\Big{(} [/mm] (c,d) , [mm] (a,b)\Big{)}$ [/mm] in R genau dann wenn a=c und b=d
(denn aus dem ersten Paar folgt [mm] $a\le [/mm] c$ und aus dem zweiten [mm] $c\le [/mm] a$ - bei b und d analog)

also seien [mm] $\vec{v}$ [/mm] und [mm] $\vec{w}$ [/mm] aus A, dann folgt aus
[mm] $(\vec{v},\vec{w})\in [/mm] R$ und [mm] $(\vec{w},\vec{v})\in [/mm] R$ , dass [mm] $\vec{v}=\vec{w}$ [/mm] , also antisymmetrie...

Reflexivität und Transitovität lassen sich ja sehr ähnlich leicht nachweisen.
Also ist es wirklich eine Halbordnung.

viele Grüße
DaMenge

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Graph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Sa 20.05.2006
Autor: Frankster

OK!

Nur was sagt mir dann diese Zeile ?
$ [mm] x_{i} \le y_{i} [/mm] $ i = (1,2)

Und wie schaut dann mein Hasse-Diagramm aus ?

Und wieso AxA

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Graph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Sa 20.05.2006
Autor: DaMenge

Hi nochmal,

ich erkenne gerade, dass man es auch anders verstehen kann:

Man kann ja auch R in MxM=A definieren.

Ich habe den Satz : "R sie die durch ((x1,x2),(y1,y2)) $ [mm] \in [/mm] $ R genau dann, wenn $ [mm] (x_{i},y_{i}) \in [/mm] $ A und $ [mm] x_{i} \le y_{i} [/mm] $ (i=1,2) definierte Relation auf A"

so verstanden, dass R eine Relation auf A ist, also Elemente aus A mit anderen Elementen aus A in Relation stehen sollen, also [mm] $R\subseteq A\times [/mm] A$.

Wenn man aber annimmt, dass der Satz bedeuten soll, dass R in A ist, also [mm] $R\subseteq A=M\times [/mm] M$, dann verstehe ich nicht ganz die Definition wann eine Element in R sein soll und wann nicht...

denn dann ist sowohl (x1,x2) in R und (y1,y2) in R .
Warum schreibt man dann aber das Paar dahin?

ich setze mal die oberste Frage auf teilweise beantwortet, damit noch jemand anderes diese Frage liest und evtl die andere Deutung erklären könnte...

Aber solange:

> Nur was sagt mir dann diese Zeile ?
>  [mm]x_{i} \le y_{i}[/mm] i = (1,2)

Das würde dir bei [mm] $R\subseteq A\times [/mm] A$ sagen, dass:
aus [mm] $\left( \vektor{a\\b},\vektor{c\\d}\right)\in [/mm] R$ folgt, dass [mm] $a\le [/mm] c$ und [mm] $b\le [/mm] d$ ist.

viele Grüße
DaMenge

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Graph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Sa 20.05.2006
Autor: Frankster

Hier ist die genaue Angabe
[]Bsp 3

Nur sagt mir das i nicht, dass es sich nur auf den Index 1 und 2 beschränkt ?
und
[mm] x_{1}=1 [/mm]
[mm] x_{2}=2 [/mm]
[mm] y_{1}=1 [/mm]
[mm] y_{2}=2 [/mm]

Weil sonst verstehe ich nicht wieso (i=1,2) angegeben ist

Danke jedenfalls!!

Mfg
Frankster

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Graph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Sa 20.05.2006
Autor: DaMenge

Hallo,

> Hier ist die genaue Angabe
>  []Bsp 3

also in der Aufgabe sind ja noch ein paar tippos - wie soll man denn da ordentlich einen Sinn erkennen?
Da würde ich glatt mal den Verantwortlichen direkt fragen, ob
[mm] $R\subseteq A\times [/mm] A$ oder [mm] $R\subseteq M\times [/mm] M$ gemeint ist.

>  
> Nur sagt mir das i nicht, dass es sich nur auf den Index 1
> und 2 beschränkt ?

ja, der INDEX der Variablen, nicht deren Wert !

also für [mm] $\vektor{x_1\\x_2}$ [/mm] und [mm] $\vektor{y_1\\y_2}$ [/mm]

bedeutet das (i=1,2), dass [mm] $x_1\le y_1$ [/mm] und [mm] $x_2\le y_2$ [/mm] sein soll.
diese beiden ungleichungen packt man zusammen in eine schreibweise :
[mm] $x_i\le y_i$ [/mm] für i=1 und i=2 (das bedeutet ja i=1,2)

Die WERTE der Variablen sind aber beliebig aus M !!

viele Grüße (muss nun auch wieder weg)
DaMenge

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Graph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Sa 20.05.2006
Autor: Frankster

Ich glaub so schaut mein Hasse Diagramm aus

[]Hasse Diagramm

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Graph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:39 Mo 22.05.2006
Autor: mathiash

Ja genau, siehe auch meine andere Antwort.

Gruss,

Mathias

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Graph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:38 Mo 22.05.2006
Autor: mathiash

Moin zusammen,

aus der Aufgabenstellung geht doch klar hervor,

dass  [mm] R\subseteq A\times [/mm] A gelten soll.

Hasse-Diagramm sieht dann so aus:
      
         (3,3)
       /       [mm] \ [/mm]
(2,3)     (3,2)
    |      \  /        \    
(1,3)  (2,2)     (3,1)    
   |     /      \     /
(1,2)      (2,1)  
    \        /
    (1,1)

Argh, sieht in der Vorschau nicht toll aus. Die Zeilen des Diagramms sind aber erkennbar, und dann also Kanten von

(1,1)   nach  (1,2) , (2,1)

(1,2) nach (1,3), (2,2)

(2,1) nach (2,2), (3,1)

(1,3) nach (2,3),

(2,2) nach (2,3), (3,2)

(3,1) nach (3,2)

(2,3) nach (3,3)

(3,2) nach (3,3)

Gruss,

Mathias

Bezug
                
Bezug
Graph: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 Mo 22.05.2006
Autor: Frankster

Danke vielmals !!

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