Graph UVR = Abbildung linear < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 So 07.12.2008 | | Autor: | Piezke |
| Aufgabe | | Seien V,W zwei K-Vektorräume, f: V->W eine Abbildung, und [mm] G_{f} \subset [/mm] V x W sein Graph. Beweisen Sie, dass die Abbildung f: V -> W linear ist ganu dann wenn die Teilmenge [mm] G_{f} \subset [/mm] V x W ein Untervektorraum ist. |
Ich habe diese Aufgabe/Frage auf keiner anderen Internetseite oder Forum gestellt.
Hallo,
Das mit dem Beweisen werde ich wohl nie ganz verstehen und eigentlich wollte ich schon aufgeben aber jetzt nochmal alles von vorn.
Kann mir jemand von euch sagen was ich hier im einzelnen beweisen muss ?
Also grob:
1. Die Abbildung ist linear wenn der Graph ein UVR ist.
2. Die Abbildung ist nicht linear wenn der Graph kein UVR ist.
Ich weiß nicht mal ob das Sinn macht. Welche Kriterien muss ich beweisen und warum ?
Ich will ja versuchen etwas zu "beweisen" aber ich würde mich über ein zwei Stubser in die richtige Richtung freuen.
lg
Piezke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Stimmt die Aussage überhaupt? Also ich denke die Richtung [mm] "$G_f\subset V\times [/mm] W$ UVR [mm] $\Rightarrow$ [/mm] f linear" ist irgendwie falsch, denn z.B. ist [mm] $\{0\}\times [/mm] W$ ein Untervektorraum von [mm] $V\times [/mm] W$, aber es gibt keine Abbildung mit diesem Graphen. Man müsste also zusätzlich zumindest noch fordern, dass [mm] $\pi_1(G_f)=V$ [/mm] ist...
Edit: Ok, also es stimmt schon, dass zwangsläufig [mm] $\pi_1(G_f)=V$ [/mm] sein muss, aber es wird ja schon voraussgesetzt, dass [mm] $G_f$ [/mm] der Graph einer Abbildung [mm] $f:V\to [/mm] W$ ist - dann ist diese Bedingung trivialerweise erfüllt.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 So 07.12.2008 | | Autor: | Piezke |
Ich habe bei der Aufgabenstellung nichts unterschlagen. Und ich würde dir gerne Recht geben aber ich bin leider in der Position des "mit den Schultern zuckers" der diesbezüglich alles glaubt was man ihm sagt. Ich wünschte es wäre anders aber der Weg dahin ist ziemlich steil bergauf und ich habe nur ein Einrad.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Seien V,W zwei K-Vektorräume, f: V->W eine Abbildung, und
> [mm]G_{f} \subset[/mm] V x W sein Graph. Beweisen Sie, dass die
> Abbildung f: V -> W linear ist ganu dann wenn die Teilmenge
> [mm]G_{f} \subset[/mm] V x W ein Untervektorraum ist.
> Kann mir jemand von euch sagen was ich hier im einzelnen
> beweisen muss ?
> Also grob:
> 1. Die Abbildung ist linear wenn der Graph ein UVR ist.
> 2. Die Abbildung ist nicht linear wenn der Graph kein UVR ist.
Ja richtig. Wobei ich denke die Kontraposition von 2. ist leichter, also
1) Wenn der Graph ein UVR ist, so ist die Abbildung linear
2) Wenn die Abbildung linear ist, dann ist der Graph ein UVR
z.B. 1). Sei $v,w$ und [mm] $\mu,\nu\in\IK$ [/mm] beliebig. Wir müssen zeigen dass [mm] $f(\mu v+\nu w)=\mu f(v)+\nu [/mm] f(w)$ ist. Da [mm] $G_f$ [/mm] Graph einer Abbildung [mm] $f:V\to [/mm] W$ ist, gibt es eindeutig bestimmte [mm] $x,y\in [/mm] W$ mit [mm] $(v,x),(w,y)\in G_f$ [/mm] (d.h. f(v)=x und f(w)=y). Da [mm] $G_f$ [/mm] ein UVR ist, ist dann auch [mm] $\mu(v,x)+\nu(w,y))=(\mu v+\nu w,\mu x+\nu y)\in G_f$, [/mm] also [mm] $f(\mu v+\nu w)=\mu x+\nu y=\mu f(v)+\nu [/mm] f(w)$.
Jetzt machst du mal 2).
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 So 07.12.2008 | | Autor: | Piezke |
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
Aber ... ich schaffe das heute wohl nicht mehr. Ich sitze heute schon den ganzen Tag an Aufgaben und ich merke das ich mich kein bisschen mehr konzentrieren kann.
Daher werde ich lieber morgen in der Früh aufstehen und mich dann nochmal frisch ans Werk machen.
Eines würde ich dennoch gerne mit in den Schlaf nehmen.
Warum ist für "Wenn der Graph ein UVR ist, so ist die Abbildung linear" die Gleichung zz die du hingeschrieben hast. Vielleicht habe ich dann ja einen AHA-Effekt.
Vielen Dank nochmal für deine Mühen und eine geruhsame Nachtruhe.
lg
Piezke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
> Aber ... ich schaffe das heute wohl nicht mehr. Ich sitze
> heute schon den ganzen Tag an Aufgaben und ich merke das
> ich mich kein bisschen mehr konzentrieren kann.
> Daher werde ich lieber morgen in der Früh aufstehen und
> mich dann nochmal frisch ans Werk machen.
Komm mir irgendwie bekannt vor 
> Eines würde ich dennoch gerne mit in den Schlaf nehmen.
> Warum ist für "Wenn der Graph ein UVR ist, so ist die
> Abbildung linear" die Gleichung zz die du hingeschrieben
> hast. Vielleicht habe ich dann ja einen AHA-Effekt.
Das ist doch genau die Definition linearer Abbildugen. Eine Abbildung [mm] $f:V\toW$ [/mm] zwischen K-Vektorräumen V,W heißt K-linear, wenn für alle [mm] $v,w\in [/mm] V$ und [mm] $\mu,\nu\in [/mm] K$ gilt [mm] $f(\mu v+\nu w)=\mu f(v)+\nu [/mm] f(w)$.
Gruß, Robert
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