Graph(f) ist Fläche < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Es sei X [mm] \subseteq R^m [/mm] offen und f [mm] \in C^{\infty}(X,R^n). [/mm] Dann ist [mm] graph(f):=\{(x,f(x))| x \in X\} \subseteq R^{n+m} [/mm] m-dim. orientierbare Fläche im [mm] R^{n+m}. [/mm] |
Hallo,
ich hab nochmal eine Frage zu den orientierbaren Flächen. Obige Aussage folgt angeblich auch sofort aus den Definitionen, für mich (noch) nicht einsichtig.
Wir haben folgende Def.:
Eine Punktmenge F [mm] \subseteq R^n [/mm] heißt p-dim glattes Flächenstück, wenn es eine offne Punktmenge A [mm] \subseteq R^n [/mm] und eine Abbildung [mm] \psi: [/mm] A [mm] \rightarrow [/mm] F gibt mit:
(1) [mm] \psi [/mm] ist topologische Abbildung, d.h. bijektiv, stetig und [mm] \psi^{-1} [/mm] ist stetig.
(2) [mm] \psi [/mm] ist stetig diffbar.
(3) [mm] Rang(\frac{d \psi}{d t_j}) [/mm] = p für alle t [mm] \in [/mm] A.
Die Def. von orientierbar steht in dem Strang "orientierbare Fläche".
Muss ich jetzt eine Abbildung von einer Punktmenga A nach graph(f) finden, die den obigen Eigenschaften genügt'? Oder wie kann man da am besten rangehen...??
Viele Grüße,
Riley
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Hallo Riley!
> Es sei X [mm]\subseteq R^m[/mm] offen und f [mm]\in C^{\infty}(X,R^n).[/mm]
> Dann ist [mm]graph(f):=\{(x,f(x))| x \in X\} \subseteq R^{n+m}[/mm]
> m-dim. orientierbare Fläche im [mm]R^{n+m}.[/mm]
> Hallo,
> ich hab nochmal eine Frage zu den orientierbaren Flächen.
> Obige Aussage folgt angeblich auch sofort aus den
> Definitionen, für mich (noch) nicht einsichtig.
> Wir haben folgende Def.:
> Eine Punktmenge F [mm]\subseteq R^n[/mm] heißt p-dim glattes
> Flächenstück, wenn es eine offne Punktmenge A [mm]\subseteq R^n[/mm]
> und eine Abbildung [mm]\psi:[/mm] A [mm]\rightarrow[/mm] F gibt mit:
> (1) [mm]\psi[/mm] ist topologische Abbildung, d.h. bijektiv, stetig
> und [mm]\psi^{-1}[/mm] ist stetig.
> (2) [mm]\psi[/mm] ist stetig diffbar.
> (3) [mm]Rang(\frac{d \psi}{d t_j})[/mm] = p für alle t [mm]\in[/mm] A.
> Die Def. von orientierbar steht in dem Strang
> "orientierbare Fläche".
> Muss ich jetzt eine Abbildung von einer Punktmenga A nach
> graph(f) finden, die den obigen Eigenschaften genügt'? Oder
> wie kann man da am besten rangehen...??
>
naja, wenn die fläche durch einen graph gegeben ist, also [mm] $F=\{(x,f(x), x\in X\}$, [/mm] dann ist es ja nicht besonders schwer die punktmenge A zu finden... Hast du dir das ganze mal in den klassischen faellen $m=1,2$ vorgestellt?
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 So 13.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Matthias,
danke für deine Antwort! Also mein Vorstellungsvemögen hinkt da ein bisschen, aber ist die Punktmenge A dann einfach die x [mm] \in [/mm] X ?
Und dann müsste ich eine Abbildung von X nach graph(f) betrachten...?
Viele Grüße,
Riley
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Hallo,
> Hallo Matthias,
> danke für deine Antwort! Also mein Vorstellungsvemögen
> hinkt da ein bisschen, aber ist die Punktmenge A dann
> einfach die x [mm]\in[/mm] X ?
> Und dann müsste ich eine Abbildung von X nach graph(f)
> betrachten...?
>
also zunaechst mal hat Secki natuerlich recht, es muesste heissen [mm] $A\subset R^p$, [/mm] sonst macht das keinen sinn. Die abbildung [mm] \psi [/mm] ist dann einfach eine parametrisierung der flaeche ueber A.
Wenn das flaechenstueck nun der graph einer funktion ueber einer menge X ist, uebernimmt X die rolle des A in der definition. und auch die umkehrfunktion kann man sehr leicht angeben: wenn [mm] x\in [/mm] X von [mm] \psi [/mm] auf $(x,f(x))$ abgebildet wird, wie kommt man dann von einem punkt $(x,f(x))$ wieder auf das x? Was ist also [mm] $\psi^{-1}(x,y)$ [/mm] mit [mm] x\in R^m, y\in R^n?
[/mm]
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 15.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Matthias,
danke für deine Antwort.
> leicht angeben: wenn [mm]x\in[/mm] X von [mm]\psi[/mm] auf [mm](x,f(x))[/mm]
> abgebildet wird, wie kommt man dann von einem punkt
> [mm](x,f(x))[/mm] wieder auf das x? Was ist also [mm]\psi^{-1}(x,y)[/mm] mit
> [mm]x\in R^m, y\in R^n?[/mm]
Ich weiß nicht, ist das wirklich so einfach, ist [mm] \psi^{-1}(x,y)=x \in R^m? [/mm] Weil mit dem x passiert doch eigentlich gar nichts?
Und wie kommt man auf [mm] Rang(\frac{d \psi}{d t_j}) [/mm] ?
Viele Grüße,
Riley
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Hi,
> Hallo Matthias,
> danke für deine Antwort.
>
> > leicht angeben: wenn [mm]x\in[/mm] X von [mm]\psi[/mm] auf [mm](x,f(x))[/mm]
> > abgebildet wird, wie kommt man dann von einem punkt
> > [mm](x,f(x))[/mm] wieder auf das x? Was ist also [mm]\psi^{-1}(x,y)[/mm] mit
> > [mm]x\in R^m, y\in R^n?[/mm]
>
> Ich weiß nicht, ist das wirklich so einfach, ist
> [mm]\psi^{-1}(x,y)=x \in R^m?[/mm] Weil mit dem x passiert doch
> eigentlich gar nichts?
>
richtig!
> Und wie kommt man auf [mm]Rang(\frac{d \psi}{d t_j})[/mm] ?
schreib dir diese (tangential-)vektoren doch einfach mal hin, z.b. fuer den fall der klassischen flaechen in [mm] R^3. [/mm] dann ist
[mm] $\psi(u,v)=(u,v,f(u,v))$.
[/mm]
jetzt musst du nur [mm] $\partial_u \psi$ [/mm] und [mm] $\partial_v \psi$ [/mm] berechnen und checken dass diese beiden vektoren zusammen den rang 2 haben.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Matthias,
> schreib dir diese (tangential-)vektoren doch einfach mal
> hin, z.b. fuer den fall der klassischen flaechen in [mm]R^3.[/mm]
> dann ist
>
> [mm]\psi(u,v)=(u,v,f(u,v))[/mm].
>
> jetzt musst du nur [mm]\partial_u \psi[/mm] und [mm]\partial_v \psi[/mm]
> berechnen und checken dass diese beiden vektoren zusammen
> den rang 2 haben.
Ist [mm] \partial_u \psi [/mm] = (1,0, [mm] \partial_u [/mm] f(u,v)) und
[mm] \partial_v \psi [/mm] = (1,0, [mm] \partial_v [/mm] f(u,v)), weil ich muss doch dann jede Kompnente nach u bzw v ableiten?
Aber mit dem Rang kommt das so noch nicht hin, oder?
Sieht der m-dim Fall dann so aus:
[mm] \psi(u_1,...,u_m) [/mm] = [mm] (u_1,...,u_m, f(u_1,..,u_m)) [/mm] ? und der Rang von der Matrix mit den entsprechenden Tangentialvektoren muss m sein?
Und dann noch eine andere Frage.Hier haben wir ja gezeigt, dass jede Fläche die durch eine einzige Karte beschrieben werden kann, orientierbar ist. Könnte man dann diesen graph(f) auch als Karte auffassen und es damit begründen?
Viele Grüße,
Riley
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Hi,
> Hallo Matthias,
>
> > schreib dir diese (tangential-)vektoren doch einfach mal
> > hin, z.b. fuer den fall der klassischen flaechen in [mm]R^3.[/mm]
> > dann ist
> >
> > [mm]\psi(u,v)=(u,v,f(u,v))[/mm].
> >
> > jetzt musst du nur [mm]\partial_u \psi[/mm] und [mm]\partial_v \psi[/mm]
> > berechnen und checken dass diese beiden vektoren zusammen
> > den rang 2 haben.
>
> Ist [mm]\partial_u \psi[/mm] = (1,0, [mm]\partial_u[/mm] f(u,v)) und
>
> [mm]\partial_v \psi[/mm] = (1,0, [mm]\partial_v[/mm] f(u,v)), weil ich muss
> doch dann jede Kompnente nach u bzw v ableiten?
nicht ganz, schau dir [mm] $\partial_v \psi$ [/mm] nochmal an. Aber langsam haben wirs... ('we are getting there' wie der englaender sagt...) 
> Aber mit dem Rang kommt das so noch nicht hin, oder?
schreibe die beiden vektoren zusammen in eine matrix und schaue scharf hin, dann solltest du es haben.
>
> Sieht der m-dim Fall dann so aus:
>
> [mm]\psi(u_1,...,u_m)[/mm] = [mm](u_1,...,u_m, f(u_1,..,u_m))[/mm] ? und der
> Rang von der Matrix mit den entsprechenden
> Tangentialvektoren muss m sein?
ja, sobald du den 2-dim. fall verstanden hast, ist der allgemeine fall ein kinderspiel.
>
> Und dann noch eine andere
> Frage.Hier haben wir
> ja gezeigt, dass jede Fläche die durch eine einzige Karte
> beschrieben werden kann, orientierbar ist. Könnte man dann
> diesen graph(f) auch als Karte auffassen und es damit
> begründen?
>
absolut. die beschreibung als graph ist die einfachste und handlichste karte, die es gibt. Viele analytische beweise, die flaechen beinhalten (zb. der gausssche integralsatz) werden so gefuehrt, dass man die flaechen lokal als graph beschreibt, fuer solche flaechen den satz beweist und dann auf die allgemeine aussage mittels partition der eins kommt.
> Viele Grüße,
> Riley
gruss zurueck
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Do 17.04.2008 | | Autor: | Riley |
Morgen Matthias,
> nicht ganz, schau dir [mm]\partial_v \psi[/mm] nochmal an. Aber
> langsam haben wirs... ('we are getting there' wie der
> englaender sagt...)
yes!! 
sorry, das war ein Tippfehler, es muss natürlich so sein:
[mm]\partial_u \psi[/mm] = (1,0, [mm]\partial_u[/mm] f(u,v))
[mm]\partial_v \psi[/mm] = (0,1, [mm]\partial_v[/mm] f(u,v))
ja gut, und dieses Teil als Matrix hat dann zwei Zeilen und drei Spalten. Achso, der Rang kann ja nicht größer als 2 sein und wenn er 1 wäre, müsste man ja eine Zeile zur Nullzeile umformen können und das geht nicht... ?
Und im m-dim Fall dann so aus
> > [mm]\psi(u_1,...,u_m)[/mm] = [mm](u_1,...,u_m, f(u_1,..,u_m))[/mm] ?
D.h. man hat quasi so ein Teil der Einheitsmatrix mit m Zeilen und m+1 Spalten und analog ist der Rang dann m.
Hm, und muss man nun noch begründen, dass [mm] \psi [/mm] stetig diffbar ist? Die uUmkehrabbildung haben wir ja..., dann hätten wir (1) - (3) ?
> absolut. die beschreibung als graph ist die einfachste und
> handlichste karte, die es gibt. Viele analytische beweise,
> die flaechen beinhalten (zb. der gausssche integralsatz)
> werden so gefuehrt, dass man die flaechen lokal als graph
> beschreibt, fuer solche flaechen den satz beweist und dann
> auf die allgemeine aussage mittels partition der eins
> kommt.
Ah, da bin ich mal gespannt wenn wir zu den Integralsätzen kommen...
Also damit müste ich dann nur zeigen, dass der graph(f) eine bijektive Parameterdarstellung, also eine Karte ist (das haben wir oben ja eigentlich auch schon gemacht, oder?) .
Viele Grüße nach Neuseeland,
Riley
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Hi,
> Morgen Matthias,
>
> > nicht ganz, schau dir [mm]\partial_v \psi[/mm] nochmal an. Aber
> > langsam haben wirs... ('we are getting there' wie der
> > englaender sagt...)
> yes!!
> sorry, das war ein Tippfehler, es muss natürlich so sein:
>
> [mm]\partial_u \psi[/mm] = (1,0, [mm]\partial_u[/mm] f(u,v))
> [mm]\partial_v \psi[/mm] = (0,1, [mm]\partial_v[/mm] f(u,v))
>
> ja gut, und dieses Teil als Matrix hat dann zwei Zeilen und
> drei Spalten. Achso, der Rang kann ja nicht größer als 2
> sein und wenn er 1 wäre, müsste man ja eine Zeile zur
> Nullzeile umformen können und das geht nicht... ?
nein, die matrix ist doch schon in zeilenstufenform (oder so).
> Und im m-dim Fall dann so aus
> > > [mm]\psi(u_1,...,u_m)[/mm] = [mm](u_1,...,u_m, f(u_1,..,u_m))[/mm] ?
>
> D.h. man hat quasi so ein Teil der Einheitsmatrix mit m
> Zeilen und m+1 Spalten und analog ist der Rang dann m.
>
> Hm, und muss man nun noch begründen, dass [mm]\psi[/mm] stetig
> diffbar ist?
naja, [mm] \psi [/mm] besteht aus der identitaet und einer glatten funktion f, das ist also schnell gezeigt.
>Die uUmkehrabbildung haben wir ja..., dann
> hätten wir (1) - (3) ?
ich denke, ja.
>
> > absolut. die beschreibung als graph ist die einfachste und
> > handlichste karte, die es gibt. Viele analytische beweise,
> > die flaechen beinhalten (zb. der gausssche integralsatz)
> > werden so gefuehrt, dass man die flaechen lokal als graph
> > beschreibt, fuer solche flaechen den satz beweist und dann
> > auf die allgemeine aussage mittels partition der eins
> > kommt.
>
> Ah, da bin ich mal gespannt wenn wir zu den Integralsätzen
> kommen...
> Also damit müste ich dann nur zeigen, dass der graph(f)
> eine bijektive Parameterdarstellung, also eine Karte ist
> (das haben wir oben ja eigentlich auch schon gemacht,
> oder?) .
>
> Viele Grüße nach Neuseeland,
>
> Riley
>
vg
matthias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias,
okay, dankeschön nochmal!
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 So 13.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Eine Punktmenge F [mm]\subseteq R^n[/mm] heißt p-dim glattes
> Flächenstück, wenn es eine offne Punktmenge A [mm]\subseteq R^n[/mm]
> und eine Abbildung [mm]\psi:[/mm] A [mm]\rightarrow[/mm] F gibt mit:
Steht das da eins zu eins und ohne Korrektur? F ist p-dim., A ist n-dim. Da wird es, außer wenn p=n, etwas schwer, die anderen Vorraussetzungen zu erfüllen - oder was soll eine "offene Punktmenge" genau sein? Da wird wohl eine Ungenauigkeit drin sin, irgendwo. Hast du dir schonmal andere Definitionen im Netz in anderen Büchern angeschaut?
Normalerweise müsstest du wieder im [m]\IR^n[/m] landen, wobei F ganz auf einen [m]\IR^p[/m] abgebildet wird, oder aber man muss sich auf F einschränken in dem A.
> Muss ich jetzt eine Abbildung von einer Punktmenga A nach
> graph(f) finden, die den obigen Eigenschaften genügt'? Oder
> wie kann man da am besten rangehen...??
Die Abbildung wird wohl in der Art [m](x,y)\mapsto (x,y-f(x))[/m] sein (oder deren Umkehrabbildung).
SEcki
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:35 So 13.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ja, die Def steht so eins zu eins in unserem Skript. Ich hab auch schon in Büchern bzw im Internet gegoogelt, allerdings ist es da meistens noch komplizierter und allgemeiner über Mannigfaltigkeiten erklärt, so den Durchblick hab ich da so oder so noch nicht...
> Die Abbildung wird wohl in der Art [m](x,y)\mapsto (x,y-f(x))[/m]
> sein (oder deren Umkehrabbildung).
Wie kommst du auf diese Abbildung? Warum oder deren Umkehrabbildung?Und dann müsste ich von der die drei Eigenschaften nachweisen?
Viele Grüße,
Riley
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