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| Aufgabe | Eine Gerade x=a (a>0) schneidet den Graph g (blau) in A und einen Graph (rot) zu f in B.
Für welchen Wert von a wird die Strecke [mm] d=\overline{AB} [/mm] am größten?
Wie lang ist d in diesem Fall? |
Hallo,
Ich finde diese Aufgabe furchtbar schwer.
1) Ich habe erstmal angefangen zu ermitteln, wo die Schnittpunkte sind.
Dazu muss man die Gleichungen ja gleichsetzen.
x=a und [mm] y=-x^{3}+x^{2}-2x
[/mm]
Nur weiß ich nicht, wie ich das angehen soll.
Hätte dann nach x umgestellt beide, aber dann kommen beim zweiten so komische Brüche raus?
2) Abstand am größten, heißt ja Extremwert berechnen.
Wenn d(a)=d1+d2 ist,
dann ist d1= g(a) und d2=f(a)
Also ist d=g(a)+f(a)
Jetzt brauche ich d'(a)=0 als Bedingung
[mm] g(a)=-a^{3}+a^{2}+2a
[/mm]
und
[mm] f(a)=a^{3}-a
[/mm]
Das entnehme ich alles der Zeichnung.
Wenn ich das jetzt zu d hinzufüge:
d= [mm] (-a^{3}+a^{2}+2a) [/mm] + [mm] (a^{3}-a)
[/mm]
und ausgeklammert:
[mm] d=-2a^{3}+a^{2}+3a
[/mm]
d'(a)= [mm] -6a^{2}+2a+3 [/mm] = 0
[mm] 0=a^{2}-1/3a-1/2
[/mm]
und ich erhalte für
a1=0,893
a2=-0,559
Hier stecke ich fest, ich habe zwei Werte für a, aber wann weiß ich wann die Strecke am größten ist (also für welchen a Wert) ?
Und wie erhalte ich die Länge von d?
Sorry, ich stehe echt auf dem Schlauch. Besonders die erste Aufgabe macht mir zu schaffen.
DANKE!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo, die Schnittpunkte zu berechnen ist nicht nötig, die Strecke d ergibt sich durch g(a)-f(a), hast du [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] schaue mal in die Aufgabenstellung, a>0, berechne dann die beiden Funktionswerte an der Stelle Steffi
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Hallo,
Wieso ist denn d=g(a)-f(a)? Wenn auf dem Zettel rechts d=d1+d2 steht?
Also wieso minus, wenn rechts plus steht?
Also nehme ich dann a1, was positiv ist. 0,893 ist der Wert.
Ich habe jetzt von beiden d'' berechnet:
d''(a1)=-8,716
d''(a2)=8,708
Also ist bei a1 ein Hochpunkt und bei a2 ein Tiefpunkt. Welcher ist jetzt der richtige Wert von a? Eigentlich a1, weil es ein Hochpunkt ist oder? Da müsste die Strecke am größten sein?
Wie kann ich d berechnen?
Wie berechne ich denn Funktionswerte an der Stelle?
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> Hallo,
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> Wieso ist denn d=g(a)-f(a)? Wenn auf dem Zettel rechts
> d=d1+d2 steht?
> Also wieso minus, wenn rechts plus steht?
>
> Also nehme ich dann a1, was positiv ist. 0,893 ist der
> Wert.
>
> Ich habe jetzt von beiden d'' berechnet:
> d''(a1)=-8,716
> d''(a2)=8,708
>
> Also ist bei a1 ein Hochpunkt und bei a2 ein Tiefpunkt.
> Welcher ist jetzt der richtige Wert von a? Eigentlich a1,
> weil es ein Hochpunkt ist oder? Da müsste die Strecke am
> größten sein?
>
> Wie kann ich d berechnen?
>
> Wie berechne ich denn Funktionswerte an der Stelle?
Hallo,
es ist irgendwie ungeschickt, d=d1+d2 zu schreiben,
obwohl das im vorliegenden beispiel auch stimmt, wenn
d1 und d2 die (positiven) Abstände von der x-Achse aus
gemessen sind. Weil jedoch die Funktion f an der
(eigentlich erst vermuteten !) Lösungsstelle einen
negativen Wert hat, ist d2=-f(a) (und nicht d2=f(a) !)
Viel sinnvoller ist, direkt zu schreiben:
d=g(a)-f(a)
Dann wird die Fallunterscheidung der möglichen Vorzeichen
von f(a) und g(a) einfach überflüssig ! Also ist dies die
bessere Lösungsidee.
Zu beachten ist aber dann noch, dass die Funktion d
auch noch ein Vorzeichen in sich trägt. d ist positiv in
jenen Bereichen in denen der Graph von g oberhalb des-
jenigen von f verläuft und negativ in jenen Bereichen,
wo dies umgekehrt ist.
Ferner vermute ich noch, dass der Aufgabensteller eine
ganz wichtige zusätzliche Voraussetzung in der Aufgabe
vergessen hat. So wie sie da steht, hat die Aufgabe
nämlich gar keine Lösung !
LG Al-Chw.
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Ja schon, danke.
Ich habe es jetzt damit gerechnet, und kam wieder auf folgendes:
a1=0,893
a2=-0,559
Das ist richtig, weil es glaube ich so auch irgendwo an der Tafel als Lösung stand oder so.
Wenn ich das jetzt in d'' einsetze, dann kommt für
d''(a1)=-8,716
d''(a2)=8,708
raus. Das heißt das erste ist ein Hochpunkt, das zweite ein Tiefpunkt.
Aber ich muss jetzt die Fragen beantworten:
1) Für welchen Wert ist die Strecke am größten?
Eigentlich a1=-8,701 oder?
oder doch a2?
2) Wie lang ist d?
Also dafür habe ich a1 eingesetzt in
d1=g(a) und d2=f(a)
Dann habe ich raus:
d1=1,877
d2=-0,1808
d=1,87--0,1808=2,05
Also ist d in diesem Fall 2,05.
Ich habe einfach nach der Annahme von oben a1 genommen.
Das ist meine Frage, weil ich die beiden Fragen nicht beantworten kann.
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> Ja schon, danke.
>
> Ich habe es jetzt damit gerechnet, und kam wieder auf
> folgendes:
>
> a1=0,893
> a2=-0,559
korrekt auf 3 dezimalen gerundet eigentlich [mm] a_2=-0,560 [/mm] !
>
> Das ist richtig, weil es glaube ich so auch irgendwo an der
> Tafel als Lösung stand oder so.
>
> Wenn ich das jetzt in d'' einsetze, dann kommt für
>
> d''(a1)=-8,716
> d''(a2)=8,708
(sollten betragsmäßig eigentlich übereinstimmen)
> raus. Das heißt das erste ist ein Hochpunkt, das zweite
> ein Tiefpunkt.
>
> Aber ich muss jetzt die Fragen beantworten:
>
> 1) Für welchen Wert ist die Strecke am größten?
> Eigentlich a1=-8,701 oder?
es war doch a1=0,893 , oder ?
> oder doch a2?
>
> 2) Wie lang ist d?
>
> Also dafür habe ich a1 eingesetzt in
>
> d1=g(a) und d2=f(a)
>
> Dann habe ich raus:
>
> d1=1,877
> d2=-0,1808
> d=1,87--0,1808=2,05
>
> Also ist d in diesem Fall 2,05.
>
> Ich habe einfach nach der Annahme von oben a1 genommen.
An den beiden Stellen [mm] a_1\approx0.893 [/mm] und [mm] a_2\approx [/mm] -0.560
nimmt der Betrag |d(a)|=|f(a)-g(a)| relative
(lokale) Maximalwerte an. Von diesen beiden ist der
an der Stelle [mm] a_1 [/mm] der größere. Da in der Aufgabe ohnehin
noch a>0 vorausgesetzt war, war wohl als Lösung dieser
Wert [mm] a_1 [/mm] mit [mm] |d(a_1)|\approx2.05 [/mm] gemeint.
Nun kommt aber mein wichtiger Einwand: Für diesen
Wert [mm] a_1 [/mm] liegt aber nur ein lokales Maximum von |d(a)|
vor. Doch wird |d(a)| durchaus größer, wenn man nur
etwa a>1.72 wählt !
LG Al-Chw.
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