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Grashüpfer-Verständnis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Mi 19.08.2009
Autor: rabilein1

Aufgabe
Es seien n eine positive ganze Zahl,
[mm] a_{1}, a_{2}, [/mm] ..., [mm] a_{n} [/mm] paarweise verschiedene positive ganze Zahlen
und M eine Menge von n-1 positiven ganzen Zahlen,
die nicht die Summe s = [mm] a_{1}+ a_{2}+ [/mm] ...+ [mm] a_{n} [/mm] als Element enthält.

Ein Grashüpfer springt längs der reellen Zahlengerade. Er startet im Nullpunkt und vollführt n Sprünge nach rechts mit Längen [mm] a_{1}, a_{2}, [/mm] ..., [mm] a_{n} [/mm] in beliebiger Reihenfolge.

Man zeige, dass der Grashüpfer seine Sprünge so anordnen kann, dass er nie auf einem Punkt aus M landet.



Eigentlich will ich diese Aufgabe jetzt gar nicht lösen, zumal ich mit "Beweisen"nicht viel am Hut habe und es außerdem weltweit nur ein einziges weibliches Wesen – und das kam aus Deutschland !!! - sowie ein Chinese und ein Japaner geschafft haben, den verlangten „Beweis“ innerhalb einer vorgegebenen Zeit zu erbringen.

Was mich eher interessiert, ist das „Verständnis“ der Aufgabe.


Also ein Beispiel:

Es sei n=4.
Die paarweise verschiedenen positiven Zahlen seien [mm] a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=3 [/mm] und [mm] a_{4}=3 [/mm]

Die Menge M - also die n-1 =3 ganzen Zahlen -  sei { 1, 5 und 7 }
Die Summe s = [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{n} [/mm] = 8 ist nicht in M enthalten

Der Grashüpfer muss nun also mit 1 – 1 - 3 – 3 so springen, dass er nicht auf die 1 , 5 und 7 kommt.

Habe ich das richtig verstanden??
Wenn JA [mm] \Rightarrow [/mm] dann behaupte ich: Das ist unmöglich, weil ...

Würde er mit 1 anfangen, dann wäre er sofort draußen.

Also beginnt er mit der 3.
Nun kommt eine 1. Dann ist er bei 4.
Nun kann er aber weder die 1 noch die 3 nehmen, da er dann bei der 5 bzw. der 7 wäre. Und die sind ja tabu.

Also muss er nach der 3 die zweite 3 nehmen. Dann ist er bei 6. Und dann bleibt nur die 1, und er ist auf der 7.

Also kann der Grashüpfer seine Sprünge nicht so anordnen kann, dass er nie auf einem Punkt aus M landet.

Ich kann mir nur vorstellen, dass ich den Ausdruck „paarweise verschieden“ nicht richtig interpretiert habe.
(Wie heißt denn das auf chinesisch?)



        
Bezug
Grashüpfer-Verständnis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Mi 19.08.2009
Autor: abakus


> Es seien n eine positive ganze Zahl,
>  [mm]a_{1}, a_{2},[/mm] ..., [mm]a_{n}[/mm] paarweise verschiedene positive
> ganze Zahlen
>  und M eine Menge von n-1 positiven ganzen Zahlen,
> die nicht die Summe s = [mm]a_{1}+ a_{2}+[/mm] ...+ [mm]a_{n}[/mm] als
> Element enthält.
>
> Ein Grashüpfer springt längs der reellen Zahlengerade. Er
> startet im Nullpunkt und vollführt n Sprünge nach rechts
> mit Längen [mm]a_{1}, a_{2},[/mm] ..., [mm]a_{n}[/mm] in beliebiger
> Reihenfolge.
>
> Man zeige, dass der Grashüpfer seine Sprünge so anordnen
> kann, dass er nie auf einem Punkt aus M landet.
>  
>
>
> Eigentlich will ich diese Aufgabe jetzt gar nicht lösen,
> zumal ich mit "Beweisen"nicht viel am Hut habe und es
> außerdem weltweit nur ein einziges weibliches Wesen –
> und das kam aus Deutschland !!! - sowie ein Chinese und ein
> Japaner geschafft haben, den verlangten „Beweis“
> innerhalb einer vorgegebenen Zeit zu erbringen.
>
> Was mich eher interessiert, ist das „Verständnis“ der
> Aufgabe.
>  
>
> Also ein Beispiel:
>
> Es sei n=4.
> Die paarweise verschiedenen positiven Zahlen seien [mm]a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=3[/mm]
> und [mm]a_{4}=3[/mm]

Ach? Deine Zahlen [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sind also (wie von dir gewählt) paarweise verschieden?

>  
> Die Menge M - also die n-1 =3 ganzen Zahlen -  sei { 1, 5
> und 7 }
>  Die Summe s = [mm]a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{n}[/mm] = 8 ist nicht in
> M enthalten
>  
> Der Grashüpfer muss nun also mit 1 – 1 - 3 – 3 so
> springen, dass er nicht auf die 1 , 5 und 7 kommt.
>
> Habe ich das richtig verstanden??
> Wenn JA [mm]\Rightarrow[/mm] dann behaupte ich: Das ist unmöglich,
> weil ...
>  
> Würde er mit 1 anfangen, dann wäre er sofort draußen.
>  
> Also beginnt er mit der 3.
> Nun kommt eine 1. Dann ist er bei 4.
> Nun kann er aber weder die 1 noch die 3 nehmen, da er dann
> bei der 5 bzw. der 7 wäre. Und die sind ja tabu.
>  
> Also muss er nach der 3 die zweite 3 nehmen. Dann ist er
> bei 6. Und dann bleibt nur die 1, und er ist auf der 7.
>  
> Also kann der Grashüpfer seine Sprünge nicht so anordnen
> kann, dass er nie auf einem Punkt aus M landet.
>  
> Ich kann mir nur vorstellen, dass ich den Ausdruck
> „paarweise verschieden“ nicht richtig interpretiert
> habe.

Allerdings. Unter den n Zahlen dürfen keine zwei gleichen sein.
Gruß Abakus

> (Wie heißt denn das auf chinesisch?)
>
>  


Bezug
                
Bezug
Grashüpfer-Verständnis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Mi 19.08.2009
Autor: rabilein1


> > Die paarweise verschiedenen positiven Zahlen seien [mm]a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=3[/mm]
> > und [mm]a_{4}=3[/mm]
>  
> Ach? Deine Zahlen [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] sind also (wie von dir
> gewählt) paarweise verschieden?

Ja, das Zahlenpaar [mm] a_{1}/a_{2} [/mm] ist verschieden vom Paar [mm] a_{3}/a_{4}. [/mm]

> Unter den n Zahlen dürfen keine zwei gleichen sein.

Der Satz ist eindeutig. Warum steht er dann nicht so in der Aufgabe?
(Naja, vielleicht eine Übersetzung aus dem Chinesischen)

Was ist denn der Unterschied zwischen "paarweise verschieden" und "verschieden"?


Bezug
                        
Bezug
Grashüpfer-Verständnis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:18 Mi 19.08.2009
Autor: abakus


> > > Die paarweise verschiedenen positiven Zahlen seien [mm]a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=3[/mm]
> > > und [mm]a_{4}=3[/mm]
>  >  
> > Ach? Deine Zahlen [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] sind also (wie von dir
> > gewählt) paarweise verschieden?
>  
> Ja, das Zahlenpaar [mm]a_{1}/a_{2}[/mm] ist verschieden vom Paar
> [mm]a_{3}/a_{4}.[/mm]
>  
> > Unter den n Zahlen dürfen keine zwei gleichen sein.
>  
> Der Satz ist eindeutig. Warum steht er dann nicht so in der
> Aufgabe?
> (Naja, vielleicht eine Übersetzung aus dem Chinesischen)
>  
> Was ist denn der Unterschied zwischen "paarweise
> verschieden" und "verschieden"?

Hallo,
"je zwei Elemente paarweise verschieden" ist ein mathematischer Standardbegriff. Deshalb wundere ich mich etwas, dass er dir nicht geläufig ist.
Er bedeutet: Wenn ich aus einer Menge M zwei BELIEBIGE Elemene  aussuche, so sind diese beiden Elemente voneinander verschieden. Da ich mit dem beliebigen Aussuchen alle nur möglichen Paare aussuchen kann, folgt daraus die Verschiedenheit sämtlicher Elemente.
Gruß Abakus

>  


Bezug
                                
Bezug
Grashüpfer-Verständnis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:28 Mi 19.08.2009
Autor: rabilein1


> "je zwei Elemente paarweise verschieden" ist ein
> mathematischer Standardbegriff.

Okay, das erklärt natürlich alles.
(Mathematische) Standardbegriffe haben zwar den Riesenvorteil, dass sie eindeutig definiert sind, andererseits aber auch den Riesennachteil, dass sie oft von der "natürlichen" Sprache abweichen.

Das Wort paarweise macht hier sprachlich keinen Sinn. Bei Paar denkt man wohl eher an ein Paar Schuhe - also an Zwei.
Und genau deshalb hatte ich jede Zahl zweifach genommen.

> Deshalb wundere ich mich etwas, dass er dir nicht geläufig ist.

Wie viele mathematische Standardbegriffe gibt es denn (die ansonsten in der Alltagssprache nicht vorkommen)?
Muss man da (in seiner Muttersprache) jeden kennen?

Also müsste es jeden dieser Standardbegriffe in jeder Sprache geben.

Ich hoffe nur, dass der finnische (türkische, bulgarische etc.) Teilnehmer der Mathe-Olympiade nicht deswegen an der Aufgabe gescheitert ist, weil er "paarweise verschieden" noch nie in seiner Muttersprache gehört hatte, sondern es - so wie ich - statt dessen wörtlich interpretierte.



Bezug
                                        
Bezug
Grashüpfer-Verständnis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:46 Mi 19.08.2009
Autor: TNA-619


> Ich hoffe nur, dass der finnische (türkische, bulgarische
> etc.) Teilnehmer der Mathe-Olympiade nicht deswegen an der
> Aufgabe gescheitert ist, weil er "paarweise verschieden"
> noch nie in seiner Muttersprache gehört hatte, sondern es
> - so wie ich - statt dessen wörtlich interpretierte.
>

Jeder Teilnehmer der IMO hat den Begriff "paarweise verschieden" schon in seiner Muttersprache gehört. Und genau so wurde das auch übersetzt, weil die Übersetzer auch vom Fach sind ;)


Bezug
                                                
Bezug
Grashüpfer-Verständnis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Fr 21.08.2009
Autor: rabilein1


> Jeder Teilnehmer der IMO hat den Begriff "paarweise verschieden"
> schon in seiner Muttersprache gehört.

Ich hoffe zwar, dass du Recht hast.
Selbstverständlich ist so etwas meiner Erachtens jedoch nicht.

Die Fähigkeit, logisch zu denken ist das Eine - alle Begriffe einer Text-Aufgabe sprachlich zu verstehen, ist das Andere.

Wer den Text versteht, wird die Aufgabe vielleicht dennoch nicht lösen können, weil es am logischen Verständnis mangelt.

Wenn man jedoch den Text einer Aufgabe nicht versteht, dann nützt einem die Fähigkeit zum Logisch-Denken überhaupt nichts.


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