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| Aufgabe | Sei [mm]U \subset \IR^n[/mm] eine off ene Menge, [mm]K \subset U[/mm]
ein Kompaktum mit glattem Rand und [mm]N : \partial K \to \IR^n[/mm] das äußere Einheitsnormalenfeld.
Seien [mm]f; g : U \to \IR[/mm] zweimal stetig di erenzierbare Funktionen
und [mm]\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \bruch{\partial^2 f}{\partial x_i^2}[/mm] .
Zeigen Sie:
[mm]\int_{K}^{} (f * \Delta g - g * \Delta f)\, d\lambda^n = \int_{\partial K}^{} (f * \left\langle \nabla g , N \right\rangle - g * \left\langle \nabla f , N \right\rangle)\, dS [/mm] |
Hallo zusammen,
wie ihr sehr soll ich die zweite Greensche Formel beweisen.
Ich habe leider keine Idee wie man da vorgehen kann. In Büchern habe ich nur die Lösung gefunden, dass man mit der ersten Greenschen Formel argumentiert. Die hatten wir jedoch nicht.
Gibts es noch einen anderen Weg?
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Di 06.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]U \subset \IR^n[/mm] eine off ene Menge, [mm]K \subset U[/mm] ein
> Kompaktum mit glattem Rand und [mm]N : \partial K \to \IR^n[/mm]
> das äußere Einheitsnormalenfeld.
> Seien [mm]f; g : U \to \IR[/mm] zweimal stetig di erenzierbare Funktionen
> und [mm]\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \bruch{\partial^2 f}{\partial x_i^2}[/mm] .
> Zeigen Sie:
> [mm]\int_{K}^{} (f * \Delta g - g * \Delta f)\, d\lambda^n = \int_{\partial K}^{} (f * \left\langle \nabla g , N \right\rangle - g * \left\langle \nabla f , N \right\rangle)\, dS[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> wie ihr sehr soll ich die zweite Greensche Formel
> beweisen.
> Ich habe leider keine Idee wie man da vorgehen kann. In
> Büchern habe ich nur die Lösung gefunden, dass man mit der
> ersten Greenschen Formel argumentiert. Die hatten wir
> jedoch nicht.
> Gibts es noch einen anderen Weg?
Du kannst den Satz von Gauss direkt auf die rechte Seite der Identität anwenden.
Viele Grüße
Rainer
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Guten Morgen,
den Gaußschen Integralsatz oder ist das ein anderer Satz?
Habe den leider nicht so gut verstanden, dass ich ihn direkt da drauf anwenden kann. Könntest du mir bitte verraten wie du das genau meinst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Do 08.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Guten Morgen,
>
> den Gaußschen Integralsatz
Ja.
> Habe den leider nicht so gut verstanden, dass ich ihn
> direkt da drauf anwenden kann. Könntest du mir bitte
> verraten wie du das genau meinst?
Das Integral auf der rechten Seite ist ein Integral eines Vektorfeldes über eine geschlossene Fläche. Also ist
[mm] \int_{\partial K}^{} (f \cdot{} \left\langle \nabla g , N \right\rangle - g \cdot{} \left\langle \nabla f , N \right\rangle)\, dS ) = \int_{K} \mathop{\mathrm{div}} (f \cdot{} \left\langle \nabla g , N \right\rangle - g \cdot{} \left\langle \nabla f , N \right\rangle)\, d\lambda^n [/mm]
Rechne die Divergenz aus!
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
irgendwie werden die Divergenz und ich keine Freunde mehr :-(
Wie rechnet man das denn hier aus? Habe leider nicht den Durchblick wie sich div da auf das Skalarprodukt auswirkt und wie wir beispielsweise das N wegbekommen. Versuche da jetzt den ganzen Tag das zu lösen, aber auf die Lösung komme ich leider nicht.
Kommt man hier mit [mm] \left\langle \nabla g , N \right\rangle = dg*N [/mm] weiter?
Wäre nett wenn du mir da nochmal auf die Sprünge helfen könntest.
Schönes Wochenende euch allen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Sa 10.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wie rechnet man das denn hier aus? Habe leider nicht den
> Durchblick wie sich div da auf das Skalarprodukt auswirkt
> und wie wir beispielsweise das N wegbekommen. Versuche da
> jetzt den ganzen Tag das zu lösen, aber auf die Lösung
> komme ich leider nicht.
> Kommt man hier mit [mm]\left\langle \nabla g , N \right\rangle = dg*N[/mm]
> weiter?
Sorry, ich habe das zu schlampig aufgeschrieben: im Gaußschen Satz steht die Divergenz des Vektorfeldes, nicht die Projektion auf die Flächennormale, wie ich geschrieben habe. Das ergibt ja keinen Sinn. Also nochmal richtig:
[mm]\int_{\partial K}^{} (f \cdot{} \left\langle \nabla g , N \right\rangle - g \cdot{} \left\langle \nabla f , N \right\rangle)\, dS = \int_{K} \mathop{\mathrm{div}} (f \cdot{} \nabla g - g \cdot{} \nabla f )\, d\lambda^n [/mm]
Dann ist es nur noch die Kettenregel: $ [mm] \nabla [/mm] * [mm] (f*\nabla [/mm] g) = [mm] \nabla f*\nabla [/mm] g + f* [mm] \Delta [/mm] g$.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Sa 10.01.2009 | | Autor: | new_franky |
Alles klar, habs verstanden. Danke!
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