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Forum "Integration" - Grenzen 3-fachintegral für V
Grenzen 3-fachintegral für V < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzen 3-fachintegral für V: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:05 So 22.11.2015
Autor: Teryosas

Aufgabe 1
Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Dreifachintegrals das Volumen des Körpers
D={(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | z [mm] \ge [/mm] 0, [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 1, [mm] y^2+z^2 \le [/mm] 1 }.

Aufgabe 2
Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Dreifachintegrals (und ohne Anwendung des Transformationssatzes) das Volumen der Einheitskugel
B={(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | [mm] x^2+y^2+z^2 \le [/mm] 1}

hey,
Könnte mir jemand evtl. bei den Grenzen für die beiden Dreifachintegrale auf die Sprünge helfen? Ich steh da total aufm Schlauch...
Zur Not gehen auch gerne ähnliche Beispiele mit welchen ich meine Grenzen herleiten könnte :)

LG

        
Bezug
Grenzen 3-fachintegral für V: so richtig?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:42 So 22.11.2015
Autor: Teryosas

Hab mich nochmal rangesetzt und hab evtl. Lösungen:

> Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Dreifachintegrals
> das Volumen des Körpers
>  D=(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | z [mm]\ge[/mm] 0, [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 1, [mm]y^2+z^2 \le[/mm] 1 .

[mm] \integral_{0}^{?}{\integral_{-\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{1-y^2}}{\integral_{-\wurzel{1-z^2}}^{\wurzel{1-z^2}}{dydxdz}}} [/mm]

Hier bin ich mir allerdings bei den Grenzen für z nicht sicher...

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

>  Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Dreifachintegrals
> (und ohne Anwendung des Transformationssatzes) das Volumen
> der Einheitskugel
>  B=(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | [mm]x^2+y^2+z^2 \le[/mm] 1


[mm] \integral_{-\wurzel{1-y^2-z^2}}^{\wurzel{1-y^2-z^2}}{\integral_{-\wurzel{1-x^2-z^2}}^{\wurzel{1-x^2-z^2}}{\integral_{-\wurzel{1-x^2-y^2}}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{1dxdydz}}} [/mm]



Kann das so stimmen???

Bezug
                
Bezug
Grenzen 3-fachintegral für V: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:29 So 22.11.2015
Autor: notinX


> Hab mich nochmal rangesetzt und hab evtl. Lösungen:
>
> > Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Dreifachintegrals
> > das Volumen des Körpers
>  >  D=(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | z [mm]\ge[/mm] 0, [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 1, [mm]y^2+z^2 \le[/mm]
> 1 .
>  
> [mm]\integral_{0}^{?}{\integral_{-\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{1-y^2}}{\integral_{-\wurzel{1-z^2}}^{\wurzel{1-z^2}}{dydxdz}}}[/mm]
>  
> Hier bin ich mir allerdings bei den Grenzen für z nicht
> sicher...
>
> -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
>  
> >  Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Dreifachintegrals

> > (und ohne Anwendung des Transformationssatzes) das Volumen
> > der Einheitskugel
>  >  B=(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | [mm]x^2+y^2+z^2 \le[/mm] 1
>  
>
> [mm]\integral_{-\wurzel{1-y^2-z^2}}^{\wurzel{1-y^2-z^2}}{\integral_{-\wurzel{1-x^2-z^2}}^{\wurzel{1-x^2-z^2}}{\integral_{-\wurzel{1-x^2-y^2}}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{1dxdydz}}}[/mm]
>  
>
>
> Kann das so stimmen???


Wenn Du eine Antwort erwartest, solltest Du eine Frage stellen, keine Mitteilung.

Gruß,

notinX

Bezug
        
Bezug
Grenzen 3-fachintegral für V: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 So 22.11.2015
Autor: notinX

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,

> Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Dreifachintegrals
> das Volumen des Körpers
>  D={(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | z [mm]\ge[/mm] 0, [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 1, [mm]y^2+z^2 \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

  1 }.

>  Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Dreifachintegrals
> (und ohne Anwendung des Transformationssatzes) das Volumen
> der Einheitskugel
>  B={(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | [mm]x^2+y^2+z^2 \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

1}

>  hey,
>  Könnte mir jemand evtl. bei den Grenzen für die beiden
> Dreifachintegrale auf die Sprünge helfen? Ich steh da
> total aufm Schlauch...
> Zur Not gehen auch gerne ähnliche Beispiele mit welchen
> ich meine Grenzen herleiten könnte :)
>  
> LG


> Hab mich nochmal rangesetzt und hab evtl. Lösungen:
>
> > Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Dreifachintegrals
> > das Volumen des Körpers
>  >  D=(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | z [mm]\ge[/mm] 0, [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 1, [mm]y^2+z^2 \le[/mm]
> 1 .
>  
> [mm]\integral_{0}^{?}{\integral_{-\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{1-y^2}}{\integral_{-\wurzel{1-z^2}}^{\wurzel{1-z^2}}{dydxdz}}}[/mm]

das kann so nicht stimmen. Wenn Du dieses Integral berechnest kommt die Variable y noch im Ergebnis vor.

>  
> Hier bin ich mir allerdings bei den Grenzen für z nicht
> sicher...

Wie groß kann z denn maximal werden (betrechte y=0)?

>
> -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
>  
> >  Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Dreifachintegrals

> > (und ohne Anwendung des Transformationssatzes) das Volumen
> > der Einheitskugel
>  >  B=(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | [mm]x^2+y^2+z^2 \le[/mm] 1
>  
>
> [mm]\integral_{-\wurzel{1-y^2-z^2}}^{\wurzel{1-y^2-z^2}}{\integral_{-\wurzel{1-x^2-z^2}}^{\wurzel{1-x^2-z^2}}{\integral_{-\wurzel{1-x^2-y^2}}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{1dxdydz}}}[/mm]
>  
>
>
> Kann das so stimmen???

Nein, aus dem gleichen Grund wie oben. Aber auch schon die Integration nach x kann nicht stimmen, es macht keinen Sinn, dass die Integrationsvariable in den Integralgrenzen auftaucht.
Für die Grenzen von x gilt: [mm] $x\leq\pm\sqrt{1-y^2-z^2}$ [/mm]
Jetzt ist die Variable x ja schon 'verarbeitet', also kann sie in den Grenzen für die Integration nach y nicht mehr vorkommen.
Für y gilt zunächst analog: [mm] $y\leq\pm\sqrt{1-x^2-z^2}$ [/mm]
Die Grenzen stellen ja den äußersten Rand dar, für welches x wird also y maximal?

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Grenzen 3-fachintegral für V: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:03 So 22.11.2015
Autor: Teryosas


> > Hab mich nochmal rangesetzt und hab evtl. Lösungen:
> >
> > > Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Dreifachintegrals
> > > das Volumen des Körpers
>  >  >  D=(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | z [mm]\ge[/mm] 0, [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 1,
> [mm]y^2+z^2 \le[/mm]
> > 1 .
>  >  
> >
> [mm]\integral_{0}^{?}{\integral_{-\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{1-y^2}}{\integral_{-\wurzel{1-z^2}}^{\wurzel{1-z^2}}{dydxdz}}}[/mm]
>  
> das kann so nicht stimmen. Wenn Du dieses Integral
> berechnest kommt die Variable y noch im Ergebnis vor.
>  
> >  

> > Hier bin ich mir allerdings bei den Grenzen für z nicht
> > sicher...
>
> Wie groß kann z denn maximal werden (betrechte y=0)?

Wenn y=0 ist und ich aus D mir  [mm] y^2+z^2 \le [/mm] 1 anschaue wird z=1?

>  

Ok, ich glaube ich hätte dx und dy nicht tauschen sollen.
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-z^2}}^{\wurzel{1-z^2}}{\integral_{-\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{1-y^2}}{dxdydz}}} [/mm]


> >
> -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
>  >  
> > >  Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Dreifachintegrals

> > > (und ohne Anwendung des Transformationssatzes) das Volumen
> > > der Einheitskugel
>  >  >  B=(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | [mm]x^2+y^2+z^2 \le[/mm] 1
>  >  
> >
> >
> [mm]\integral_{-\wurzel{1-y^2-z^2}}^{\wurzel{1-y^2-z^2}}{\integral_{-\wurzel{1-x^2-z^2}}^{\wurzel{1-x^2-z^2}}{\integral_{-\wurzel{1-x^2-y^2}}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{1dxdydz}}}[/mm]
>  >  
> >
> >
> > Kann das so stimmen???
>
> Nein, aus dem gleichen Grund wie oben. Aber auch schon die
> Integration nach x kann nicht stimmen, es macht keinen
> Sinn, dass die Integrationsvariable in den Integralgrenzen
> auftaucht.
> Für die Grenzen von x gilt: [mm]x\leq\pm\sqrt{1-y^2-z^2}[/mm]
>  Jetzt ist die Variable x ja schon 'verarbeitet', also kann
> sie in den Grenzen für die Integration nach y nicht mehr
> vorkommen.
> Für y gilt zunächst analog: [mm]y\leq\pm\sqrt{1-x^2-z^2}[/mm]
>  Die Grenzen stellen ja den äußersten Rand dar, für
> welches x wird also y maximal?

für x=0?

Hätte jetzt gesagt das es dann lauten müsste:

[mm] \integral_{-\wurzel{1}}^{\wurzel{1}}{\integral_{-\wurzel{1-z^2}}^{\wurzel{1-z^2}}{\integral_{-\wurzel{1-x^2-y^2}}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{1dxdydz}}} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Grenzen 3-fachintegral für V: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 24.11.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Grenzen 3-fachintegral für V: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 Mo 23.11.2015
Autor: fred97

Zu Aufgabe 1:

Setze [mm] K:=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2 \le 1\}. [/mm] Dann:

Volumen von D= [mm] \integral_{D}^{}{1 d(x,y,z)}= \integral_{K}^{}{(\int_0^{\wurzel{1-y^2}}1 dz) d(x,y)} [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Grenzen 3-fachintegral für V: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:36 Mo 23.11.2015
Autor: Teryosas


> Zu Aufgabe 1:
>  
> Setze [mm]K:=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2 \le 1\}.[/mm] Dann:
>  
> Volumen von D= [mm]\integral_{D}^{}{1 d(x,y,z)}= \integral_{K}^{}{(\int_0^{\wurzel{1-y^2}}1 dz) d(x,y)}[/mm]
>  
> FRED

ok dann sind die restlichen Grenzen:

[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2}}{\integral_{0}^{\wurzel{1-y^2}}{1dzdydx}}} [/mm]

ist das soo jetzt richtig?

Bezug
                        
Bezug
Grenzen 3-fachintegral für V: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Mo 23.11.2015
Autor: fred97


> > Zu Aufgabe 1:
>  >  
> > Setze [mm]K:=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2 \le 1\}.[/mm] Dann:
>  >  
> > Volumen von D= [mm]\integral_{D}^{}{1 d(x,y,z)}= \integral_{K}^{}{(\int_0^{\wurzel{1-y^2}}1 dz) d(x,y)}[/mm]
>  
> >  

> > FRED
>
> ok dann sind die restlichen Grenzen:
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2}}{\integral_{0}^{\wurzel{1-y^2}}{1dzdydx}}}[/mm]
>  
> ist das soo jetzt richtig?


Ja

FRED

Bezug
                                
Bezug
Grenzen 3-fachintegral für V: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:52 Mo 23.11.2015
Autor: Leopold_Gast

Beim ersten und zweiten Integral von links scheinen mir die unteren Grenzen nicht zu stimmen.

Wenn man mit der Integration über [mm]y[/mm] beginnt, geht es so:

[mm]V(D) = \int \limits_{-1}^1 \int \limits_0^{\sqrt{1-y^2}} \int \limits_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}z ~ \mathrm{d}y = \int \limits_{-1}^1 \left( \int \limits_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \mathrm{d}x \right) \cdot \left( \int \limits_0^{\sqrt{1-y^2}} \mathrm{d}z \right) ~ \mathrm{d}y = \int \limits_{-1}^1 2 \left( 1-y^2 \right) ~ \mathrm{d}y[/mm]

Bezug
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