Grenzen bei Randdichten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 16.04.2013 | | Autor: | melodie |
| Aufgabe | [mm] f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases}\bruch{6}{5}x , & 1\le x \le 2, 0 \le y \le x-1, \\ 0 & sonst \end{cases}
[/mm]
Berechnen sie die Randdichten [mm] f_{X}(x) [/mm] und [mm] f_{Y}(y) [/mm] |
Randdichte von [mm] f_{X}(x) [/mm] war einfach.
nun wurde aber bei der Randdichte [mm] f_{Y}(y) 0\le y\le [/mm] 1 statt [mm] 0\le y\le [/mm] x-1 genommen das Integral sieht in der Lösung so aus :
[mm] f_{Y}(y) [/mm] = [mm] \integral_{y+1}^{2}{\bruch{6}{5}x dx}
[/mm]
warum sind die Grenzen hier y+1 und 2 und nicht nur 1 und 2? wie kommt man darauf?
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> [mm]f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases}\bruch{6}{5}x , & 1\le x \le 2, 0 \le y \le x-1, \\ 0 & sonst \end{cases}[/mm]
>
Hallo und guten Abend
> Berechnen sie die Randdichten [mm]f_{X}(x)[/mm] und [mm]f_{Y}(y)[/mm]
> Randdichte von [mm]f_{X}(x)[/mm] war einfach.
>
> nun wurde aber bei der Randdichte [mm]f_{Y}(y) 0\le y\le[/mm] 1
> statt [mm]0\le y\le[/mm] x-1 genommen das Integral sieht in der
> Lösung so aus :
> [mm]f_{Y}(y)[/mm] = [mm]\integral_{y+1}^{2}{\bruch{6}{5}x dx}[/mm]
>
> warum sind die Grenzen hier y+1 und 2 und nicht nur 1 und
> 2? wie kommt man darauf?
Die Randdichte (und damit die Randverteilung) einer gemeinsamen Verteilung mit Dichte f(x,y) ist ja allgemein definiert als
[mm] $f_{Y}(y)=\int\limits_{\IR} [/mm] f(x,y) [mm] \; [/mm] dx $
Nun ist hier die Frage, über welchen Bereich die gemeinsame Dichte $f(x,y) [mm] \not=0$ [/mm] ist.
Nach Definition von $f(x,y)$ gilt [mm] $f(x,y)\not=0$ [/mm] für [mm] $0\leq [/mm] y [mm] \leq [/mm] x-1$. Stell diese Ungleichung mal nach $x$ um, dann bekommst du eine untere Grenze für den Integrationsbereich.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 16.04.2013 | | Autor: | melodie |
> > [mm]f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases}\bruch{6}{5}x , & 1\le x \le 2, 0 \le y \le x-1, \\ 0 & sonst \end{cases}[/mm]
>
> >
> Hallo und guten Abend
> > Berechnen sie die Randdichten [mm]f_{X}(x)[/mm] und [mm]f_{Y}(y)[/mm]
> > Randdichte von [mm]f_{X}(x)[/mm] war einfach.
> >
> > nun wurde aber bei der Randdichte [mm]f_{Y}(y) 0\le y\le[/mm] 1
> > statt [mm]0\le y\le[/mm] x-1 genommen das Integral sieht in der
> > Lösung so aus :
> > [mm]f_{Y}(y)[/mm] = [mm]\integral_{y+1}^{2}{\bruch{6}{5}x dx}[/mm]
> >
> > warum sind die Grenzen hier y+1 und 2 und nicht nur 1 und
> > 2? wie kommt man darauf?
>
> Die Randdichte (und damit die Randverteilung) einer
> gemeinsamen Verteilung mit Dichte f(x,y) ist ja allgemein
> definiert als
> [mm]f_{Y}(y)=\int\limits_{\IR} f(x,y) \; dx[/mm]
>
> Nun ist hier die Frage, über welchen Bereich die
> gemeinsame Dichte [mm]f(x,y) \not=0[/mm] ist.
>
> Nach Definition von [mm]f(x,y)[/mm] gilt [mm]f(x,y)\not=0[/mm] für [mm]0\leq y \leq x-1[/mm].
> Stell diese Ungleichung mal nach [mm]x[/mm] um, dann bekommst du
> eine untere Grenze für den Integrationsbereich.
also 1 [mm] \le [/mm] y+1 [mm] \le [/mm] x und da im ersten Bereich 1 [mm] \le x\le [/mm] 2 ist nehme ich 2 als obere Grenze und habe dann y+1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2?
Bei der Randdichte [mm] f_{X}(x) [/mm] wurden die Grenzen 0 und x-1 genommen warum sind die Grenzen von [mm] f_{Y}(y) [/mm] dann nicht einfach 1 und 2 ?
>
> Viele Grüße
> Blasco
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Hiho,
> Bei der Randdichte [mm]f_{X}(x)[/mm] wurden die Grenzen 0 und x-1
> genommen warum sind die Grenzen von [mm]f_{Y}(y)[/mm] dann nicht
> einfach 1 und 2 ?
aus dem gleichen Grund.
Schreibe deine Dichte doch mal mithilfe von Indikatorfunktionen, nutze dann die Definition der Randdichte und verwende die Indikatorfunktionen dann zur Erstellung der Grenzen.
Es gilt: [mm] $f_{X,Y}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{6}{5}x1_{\{1\le x \le 2\}}1_{\{0 \le y \le x-1\}}$
[/mm]
Und jetzt nutze einfach die Definition der Randdichten, setze dann ein, dann ergibt sich der Rest von allein.
Allerdings hat luis dich auf ein anderes Problem hingewiesen, beantworte doch erstmal das.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Di 16.04.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
m.E. ist hier der Wurm drin. *Ich* erhalte
[mm] $\frac{6}{5}\int_0^2\int_0^{x-1}x\,dy\,dx=\frac{4}{5}\ne1$.
[/mm]
vg Luis
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