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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Grenzen bei Randdichten
Grenzen bei Randdichten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzen bei Randdichten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Di 16.04.2013
Autor: melodie

Aufgabe
[mm] f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases}\bruch{6}{5}x , & 1\le x \le 2, 0 \le y \le x-1, \\ 0 & sonst \end{cases} [/mm]

Berechnen sie die Randdichten [mm] f_{X}(x) [/mm] und  [mm] f_{Y}(y) [/mm]

Randdichte von [mm] f_{X}(x) [/mm] war einfach.

nun wurde aber bei der Randdichte [mm] f_{Y}(y) 0\le y\le [/mm] 1 statt [mm] 0\le y\le [/mm] x-1 genommen das Integral sieht in der Lösung so aus :
[mm] f_{Y}(y) [/mm] = [mm] \integral_{y+1}^{2}{\bruch{6}{5}x dx} [/mm]

warum sind die Grenzen hier y+1 und 2 und nicht nur 1 und 2? wie kommt man darauf?

        
Bezug
Grenzen bei Randdichten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Di 16.04.2013
Autor: blascowitz


> [mm]f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases}\bruch{6}{5}x , & 1\le x \le 2, 0 \le y \le x-1, \\ 0 & sonst \end{cases}[/mm]
>  

Hallo und guten Abend

> Berechnen sie die Randdichten [mm]f_{X}(x)[/mm] und  [mm]f_{Y}(y)[/mm]
>  Randdichte von [mm]f_{X}(x)[/mm] war einfach.
>  
> nun wurde aber bei der Randdichte [mm]f_{Y}(y) 0\le y\le[/mm] 1
> statt [mm]0\le y\le[/mm] x-1 genommen das Integral sieht in der
> Lösung so aus :
> [mm]f_{Y}(y)[/mm] = [mm]\integral_{y+1}^{2}{\bruch{6}{5}x dx}[/mm]
>  
> warum sind die Grenzen hier y+1 und 2 und nicht nur 1 und
> 2? wie kommt man darauf?

Die Randdichte (und damit die Randverteilung) einer gemeinsamen Verteilung mit  Dichte f(x,y) ist ja allgemein definiert als
[mm] $f_{Y}(y)=\int\limits_{\IR} [/mm] f(x,y) [mm] \; [/mm] dx $

Nun ist hier die Frage, über welchen Bereich die gemeinsame Dichte $f(x,y) [mm] \not=0$ [/mm] ist.

Nach Definition von $f(x,y)$ gilt [mm] $f(x,y)\not=0$ [/mm] für [mm] $0\leq [/mm] y [mm] \leq [/mm] x-1$. Stell diese Ungleichung mal nach $x$ um, dann bekommst du eine untere Grenze für den Integrationsbereich.

Viele Grüße
Blasco

Bezug
                
Bezug
Grenzen bei Randdichten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Di 16.04.2013
Autor: melodie


> > [mm]f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases}\bruch{6}{5}x , & 1\le x \le 2, 0 \le y \le x-1, \\ 0 & sonst \end{cases}[/mm]
>  
> >  

> Hallo und guten Abend
>  > Berechnen sie die Randdichten [mm]f_{X}(x)[/mm] und  [mm]f_{Y}(y)[/mm]

>  >  Randdichte von [mm]f_{X}(x)[/mm] war einfach.
>  >  
> > nun wurde aber bei der Randdichte [mm]f_{Y}(y) 0\le y\le[/mm] 1
> > statt [mm]0\le y\le[/mm] x-1 genommen das Integral sieht in der
> > Lösung so aus :
> > [mm]f_{Y}(y)[/mm] = [mm]\integral_{y+1}^{2}{\bruch{6}{5}x dx}[/mm]
>  >  
> > warum sind die Grenzen hier y+1 und 2 und nicht nur 1 und
> > 2? wie kommt man darauf?
>
> Die Randdichte (und damit die Randverteilung) einer
> gemeinsamen Verteilung mit  Dichte f(x,y) ist ja allgemein
> definiert als
>  [mm]f_{Y}(y)=\int\limits_{\IR} f(x,y) \; dx[/mm]
>  
> Nun ist hier die Frage, über welchen Bereich die
> gemeinsame Dichte [mm]f(x,y) \not=0[/mm] ist.
>  
> Nach Definition von [mm]f(x,y)[/mm] gilt [mm]f(x,y)\not=0[/mm] für [mm]0\leq y \leq x-1[/mm].
> Stell diese Ungleichung mal nach [mm]x[/mm] um, dann bekommst du
> eine untere Grenze für den Integrationsbereich.

also 1 [mm] \le [/mm] y+1 [mm] \le [/mm] x und da im ersten Bereich 1 [mm] \le x\le [/mm] 2 ist nehme ich 2 als obere Grenze und habe dann y+1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2?
Bei der Randdichte [mm] f_{X}(x) [/mm] wurden die Grenzen 0 und x-1 genommen  warum sind die Grenzen von [mm] f_{Y}(y) [/mm] dann nicht einfach 1 und 2 ?

>  
> Viele Grüße
>  Blasco

Bezug
                        
Bezug
Grenzen bei Randdichten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:02 Mi 17.04.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Bei der Randdichte [mm]f_{X}(x)[/mm] wurden die Grenzen 0 und x-1
> genommen  warum sind die Grenzen von [mm]f_{Y}(y)[/mm] dann nicht
> einfach 1 und 2 ?

aus dem gleichen Grund.
Schreibe deine Dichte doch mal mithilfe von Indikatorfunktionen, nutze dann die Definition der Randdichte und verwende die Indikatorfunktionen dann zur Erstellung der Grenzen.

Es gilt: [mm] $f_{X,Y}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{6}{5}x1_{\{1\le x \le 2\}}1_{\{0 \le y \le x-1\}}$ [/mm]

Und jetzt nutze einfach die Definition der Randdichten, setze dann ein, dann ergibt sich der Rest von allein.

Allerdings hat luis dich auf ein anderes Problem hingewiesen, beantworte doch erstmal das.


MFG,
Gono.

Bezug
        
Bezug
Grenzen bei Randdichten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:28 Di 16.04.2013
Autor: luis52

Moin,

m.E. ist hier der Wurm drin. *Ich* erhalte

[mm] $\frac{6}{5}\int_0^2\int_0^{x-1}x\,dy\,dx=\frac{4}{5}\ne1$. [/mm]

vg Luis

Bezug
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