Grenzkosten/maximale Gewinn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Mo 06.06.2005 | | Autor: | NanoSusi |
Hallo all zusammen,
ich habe ein Problemchen. Habe schon in Foren gestöbert und versuchte die Aufgabe selbst zu lösen, kam aber nicht zur gegebenen Lösung.
Die Aufgabe lautet :
Die Stückkostenfunktion ist [mm] k(x) = 150x^{-\bruch{1}{3}} + 0,1x + 5[/mm]
1) Bestimmen Sie das Minimum der Grenzkosten. Per Hand. (Antwort: 46,38596)
2) Für welchen Wert von x wird der Gewinn maximal, wenn der Preis p =120 pro Mengeeinheit (Polypol!) beträgt? (Antwort: 512,52....)
Also habe ich gefunden, dass um die verlustfreie Produktion zu bestimmen sollte ich [mm]\bruch{k(x)}{x} [/mm] dividieren.
Bei gegebener Funktion habe ich die [mm] K_g(x) = 150 x^{-\bruch{4}{3}} + 0,1 + \bruch{5}{x}[/mm] bekommen und anschließend diese Funktion abgeleitet :
[mm] K'_g(x) = -200x^{-\bruch{7}{3}} - \bruch{5}{x^{-2}}[/mm] .
Dann habe ich die erste Ableitung gleich Null gesetzt, um Maximum/Minimum zu bestimmen.
[mm] -200x^{-\bruch{7}{3}} - \bruch{5}{x^{-2}}= 0[/mm]
[mm] -40x^{-\bruch{7}{3}} - {x^{-2}}= 0[/mm]
[mm] x^{-2}*( -40x^{-\bruch{1}{3}} -1) = 0[/mm]
[mm] x^{-2}= 0 \vee -40x^{-\bruch{1}{3}} -1 = 0[/mm]
[mm] x = 0 \vee \wurzel[3]{x} = -40 [/mm]
Da die Antwort mit der Lösung nicht übereinstimmt, gehe ich davon aus , dass es mindestens ein Fehler in meiner Rechnung gibt's.
Wäre sehr dankbar wenn ich dies nicht nur vorgerechnet, sondern allgemein zu dieser Thema Erklärungen bekomme.
MfG Nanosusi
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Hallo NanoSusi,
hast du schon mal hier gesucht?
Die Frage nach der Kostenfunktion hatten wir schon einige Male.
>
> ich habe ein Problemchen. Habe schon in Foren gestöbert und
> versuchte die Aufgabe selbst zu lösen, kam aber nicht zur
> gegebenen Lösung.
> Die Aufgabe lautet :
> Die Stückkostenfunktion ist [mm]k(x) = 150x^-\bruch{1}{3} + 0,1x + 5[/mm]
> 1) Bestimmen Sie das Minimum der Grenzkosten. Per Hand.
> (Antwort: 46,38596)
> 2) Für welchen Wert von x wird der Gewinn maximal, wenn
> der Preis p =120 pro Mengeeinheit (Polypol!) beträgt?
> (Antwort: 512,52....)
>
> Also habe ich gefunden, dass um die verlustfreie Produktion
> zu bestimmen sollte ich [mm]\bruch{k(x)}{x}[/mm] dividieren.
>
> Bei gegebener Funktion habe ich die [mm]K_g(x) = 150 x^-\bruch{4}{3} + 0,1 + \bruch{5}{x}[/mm]
> bekommen und anschließend diese Funktion abgeleitet :
> [mm]K'_g(x) = -200x^-\bruch{7}{3} - \bruch{5}{x^{-2}}[/mm] .
> Dann habe ich die erste Ableitung gleich Null gesetzt, um
> Maximum/Minimum zu bestimmen.
>
> [mm]-200x^-\bruch{7}{3} - \bruch{5}{x^{-2}}= 0[/mm]
>
> [mm]-40x^-\bruch{7}{3} - {x^{-2}}= 0[/mm]
>
> [mm]x^{-2}*( -40x^-\bruch{1}{3} -1) = 0[/mm]
>
> [mm]x^{-2}= 0 \vee -40x^-\bruch{1}{3} -1 = 0[/mm]
>
> [mm]x = 0 \vee \wurzel[3]{x} = -40[/mm]
>
> Da die Antwort mit der Lösung nicht übereinstimmt, gehe ich
> davon aus , dass es mindestens ein Fehler in meiner
> Rechnung gibt's.
> Wäre sehr dankbar wenn ich dies nicht nur vorgerechnet,
> sondern allgemein zu dieser Thema Erklärungen bekomme.
>
> MfG Nanosusi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo NanoSusi
zu Aufgabe 1:
Um das Minimum der Grenzkosten zu bestimmen, mußt du erstmal die Grenzkostenfunktion ermitteln.
Die Grenzkostenfunktion erhälst du , wenn du die Gesamtkostenfunktion ableitest. Jetzt haben wir aber nur die Stückkostenfunktion gegeben. Daraus können wir aber die Gesamtkostenfunktion berechnen.
Wir wissen:
Die Stückkosten berechnet man , indem man die Gesamtkosten durch die Anzahl der produzierten Güter (x) dividiert.
[mm] k(x)=\bruch{K(x)}{x}
[/mm]
Das mußt du jetzt nur noch nach K(x) umstellen und ableiten. Dann hast du die Grenzkostenfunktion ermittelt. Davon mußt du dann noch das Minimum bestimmen.
zu Aufgabe 2:
Hier mußt du erstmal die Gewinnfunktion aufstellen:
G(x)=U(x)-K(x)
G(x)=120x-K(x)
Und jetzt das Maximum bestimmen!
Ich hab das jetzt nicht alles nachgerechnet. Wenn du die richtigen Ergebnisse erhälst, dann kannst du dich ja noch einmal melden. Ich freu mich immer , wenn ich eine positive Rückmeldung erhalte.
Gruß Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mo 06.06.2005 | | Autor: | NanoSusi |
Hallo, Fabian
Danke für deine Antwort, ist so einiges klar geworden.
Auf die richtige Lösung komme ich trotzdem nicht :-(
[mm]k(x)=\bruch{K(x)}{x}=150x^{-\bruch{1}{3}} + 0,1x +5[/mm]
[mm]K(x) = x*k(x)= 150x^{\bruch{2}{3}} + 0,1x^2 + 5x[/mm]
[mm]K'(x)= [mm] 100x^{-\bruch{1}{3}} [/mm] + 0,2x + 5
Falls die K(x) und K'(x) richtig sind, so habe ich die K' nicht lösen können.
Gruß,
Nanosusi
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Ich hab von Finanzmathe leider keinen Plan, deshalb hab ich mir ![[]](/images/popup.gif) hier mal das ganze etwas angeschaut. Dort ist erklärt, dass die Grenzkostenfunktion die Ableitung der Gesamtkostenfunktion ist! Und davon sollst du ja erst das Minimum finden. D.h. du musst diese Funktion (also K'(x) hast du sie glaube ich genannt) nocheinmal ableiten und dann erst gleich null setzen! Mein Rechner gibt mir auch genau deinen Wert aus, weshalb das wohl tatsächlich alles richtig sein dürfte!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo TranVanLu
Du hast völlig Recht. Das hab ich ja völlig vergessen!
Gruß Fabian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo NanoSusi
Ich schreib dir hier noch mal den genauen Rechenweg auf:
Um das Minimum zu bestimmen, mußt du natürlich die Grenzkostenfunktion noch einmal ableiten.
[mm] K''(x)=-\bruch{100}{3}x^{-\bruch{4}{3}}+0,2
[/mm]
K''(x)=0
[mm] x^{\bruch{4}{3}}=\bruch{100}{0,6}
[/mm]
[mm] (x^{4})^{\bruch{1}{3}}=\bruch{100}{0,6}
[/mm]
[mm] x^{4}=(\bruch{100}{0,6})^{3}
[/mm]
[mm] x=\wurzel[4]{(\bruch{100}{0,6})^{3}}
[/mm]
Jetzt solltest du alleine weiterkommen!
Gruß Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Di 07.06.2005 | | Autor: | NanoSusi |
Aber ja doch !!!
Ich habe die Grenzkostenfunktion als K'(x) bezeichnet und anstatt sie abzuleiten und erst dann zu lösen , habe ich versucht direkt die Gleichung zu lösen.
Jetzt habe ich den Ergebniss, der vorgegeben war rausbekommen
Bei dem zweiten Aufgabenteil geht es darum, die Anzahl x für maximale Gewinn bei vorgegebenen Preis zu bestimmen.
Dafür habe ich die Gewinnfunktion [mm]G(x)= p(x*x) - K(x) = -0,1x^2 - 150x^{\bruch{2}{3}} + 115x[/mm] erstellt und anschließend abgeleitet:
[mm] G'(x) = -0,2x - 100x^{-\bruch{1}{3}} + 115[/mm]
Und weiter kann ich wieder nicht weiter. Gibt es bei solchen Typ von Gleichungen bestimmte Tricks?
Egal was ich mit der Gleichung anstelle, da es nicht bei allen summanden der x dabei ist, komme ich nicht auf die Lösung :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Di 07.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Nanosusi!
Die Gleichug stimmt bis dahin und es kommt auch das Richtige raus - ich habe die Gleichung gerade mit MATHEMATICA lösen lassen.
Ich sehe keine Möglichkeit dies algebraisch zu lösen. Daher müsstest du, wenn du kein CAS (Computer-Algebra-System) bemühen willst, ein Näherungsverfahren (zum Beispiel das Newton-Verfahren) einsetzen.
Viele Grüße
Julius
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