Grenzüberganz:Ohne/Mit ZL < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mi 27.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeige dass für N -> [mm] \infty [/mm] , K -> [mm] \infty, [/mm] K/N ->p die hypergeometrische Verteilung gegen die Binomialverteilung konvergiert, d.h. die von N abhängigen Wahrscheinlichkeiten [mm] P_2 [/mm] (X=k) konvergieren gegen die Werte [mm] P_1 [/mm] (X=k) .
Edit:
In einer Urne befinden sich N durchnummerierte Kugeln, K rote und N-K weiße. Es wird eine STichprobe von n Kugeln mit bzw. ohne Zurücklegen gezogen. |
[mm] P_2 [/mm] (X=k) = [mm] \frac{\vektor{K \\ k}\vektor{N-K \\ n-k}}{\vektor{N \\ n}} =\frac{K*..(K-k+1)*(N-k)*...*(N-K-n+k+1)*n!}{k! (n-k)! *N*..*(N-n+1)}= \vektor{n \\ k} \frac{K*..*(K-k+1)}{N*..*(N-k+1)} \frac{(N-K)*..*(N-K-n+k+1)}{(N-k)*..*(N-n+1)}
[/mm]
Nun komme ich nicht wirklich weiter. Ich sehe schon dass sich da bei K/N beim grenzübergang ein p versteckt..
Aber wie komme ich auf [mm] p^k *(1-p)^{n-k}??
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Do 28.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> [mm]P_2[/mm] (X=k) = [mm]\frac{\vektor{K \\ k}\vektor{N-K \\ n-k}}{\vektor{N \\ n}} =\frac{K*..(K-k+1)*(N-k)*...*(N-K-n+k+1)*n!}{k! (n-k)! *N*..*(N-n+1)}= \vektor{n \\ k} \frac{K*..*(K-k+1)}{N*..*(N-k+1)} \frac{(N-K)*..*(N-K-n+k+1)}{(N-k)*..*(N-n+1)}[/mm]
>
> Nun komme ich nicht wirklich weiter. Ich sehe schon dass
> sich da bei K/N beim grenzübergang ein p versteckt..
> Aber wie komme ich auf [mm]p^k *(1-p)^{n-k}??[/mm]
Zeige für [mm] $K,N\to\infty$ [/mm] mit [mm] $\frac{K}{N}\to [/mm] p$:
[mm] $\frac{K}{N}\to p,\quad\ldots,\quad\frac{K-k+1}{N-k+1}\to [/mm] p$
und
[mm] $\frac{N-K}{N-k}\to1-p,\quad\ldots,\quad\frac{N-K-n+k+1}{N-n+1}\to1-p$.
[/mm]
Dazu kann es nützlich sein, für beliebige [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] zu zeigen:
[mm] $\frac{K-a}{N-b}\to [/mm] p$.
Viel Erfolg!
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Fr 29.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo ;)
Danke
> Dazu kann es nützlich sein, für beliebige $ [mm] a,b\in\IR [/mm] $ zu zeigen:
> $ [mm] \frac{K-a}{N-b}\to [/mm] p $
Für K,N -> [mm] \infty [/mm] mit [mm] \frac{K}{N} [/mm] -> p:
bel a, b [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \frac{K-A}{N-b} =\frac{K/N-A/N}{N/N-b/N} [/mm] ->Grenzübergang -> p/1 =p
Dies zeigt:
> für $ [mm] K,N\to\infty [/mm] $ mit $ [mm] \frac{K}{N}\to [/mm] p $:
> $ [mm] \frac{K}{N}\to p,\quad\ldots,\quad\frac{K-k+1}{N-k+1}\to [/mm] p $
und da [mm] \frac{N-K}{N} [/mm] = 1- [mm] \frac{K}{N}
[/mm]
> $ [mm] \frac{N-K}{N-k}\to1-p,\quad\ldots,\quad\frac{N-K-n+k+1}{N-n+1}\to1-p [/mm] $.
Und draus resultiert dass das zuzeigende..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Fr 29.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Dazu kann es nützlich sein, für beliebige [mm]a,b\in\IR[/mm] zu
> > zeigen:
>
> > [mm]\frac{K-a}{N-b}\to p[/mm]
>
> Für K,N -> [mm]\infty[/mm] mit [mm]\frac{K}{N}[/mm] -> p:
> bel a, b [mm]\in \IR[/mm]
> [mm]\frac{K-A}{N-b} =\frac{K/N-A/N}{N/N-b/N}[/mm]
> ->Grenzübergang -> p/1 =p
>
>
> Dies zeigt:
> > für [mm]K,N\to\infty[/mm] mit [mm]\frac{K}{N}\to p [/mm]:
>
> > [mm]\frac{K}{N}\to p,\quad\ldots,\quad\frac{K-k+1}{N-k+1}\to p[/mm]
Schön! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und da [mm]\frac{N-K}{N}[/mm] = 1- [mm]\frac{K}{N}[/mm]
>
> >
> [mm]\frac{N-K}{N-k}\to1-p,\quad\ldots,\quad\frac{N-K-n+k+1}{N-n+1}\to1-p [/mm].
Ich denke, diesen Schritt solltest du etwas genauer ausführen.
> Und draus resultiert dass das zuzeigende..
Genau.
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