Grenzwert+Binomialkoeffizient < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mi 14.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5\cdot2^{n}}\cdot\vektor{n+1 \\ n-1}\cdot(\bruch{2}{4n+1}-\bruch{1}{2n+1}) [/mm] |
Hallo,
So nun stehe ich da und weiss nicht mehr wie man das mit dem Binomialkoeffizienten rechnet. Ein allgemeiner Tipp wäre vom Vorteil, kenne das nur aus der Schule. An der Uni haben wir in den Übungen dieses nicht mehr gemacht. Das hier ist eine Klausuraufgabe und ich möchte diese verstehen.
Danke
P.S. Ich will mich auch in Mathe später mit diesem Forum fit halten und Antworten geben, dazu muss ich aber ertsmal selber alles drauf haben. Ich habe ein schlechtes Gefühl, weil ich hier im Forum überwiegend nur Fragen stelle. Das kommt aber noch. Ihr seid super!!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mi 14.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\wurzel[n]{5\cdot2{n}}\cdot\vektor{n+1 \\ n-1}\cdot(\bruch{2}{4n+1}-\bruch{1}{2n+1})[/mm]
> Hallo,
>
> So nun stehe ich da und weiss nicht mehr wie man das mit
> dem Binomialkoeffizienten rechnet. Ein allgemeiner Tipp
> wäre vom Vorteil, kenne das nur aus der Schule. An der Uni
> haben wir in den Übungen dieses nicht mehr gemacht. Das
> hier ist eine Klausuraufgabe und ich möchte diese
> verstehen.
>
> Danke
>
> P.S. Ich will mich auch in Mathe später mit diesem Forum
> fit halten und Antworten geben, dazu muss ich aber ertsmal
> selber alles drauf haben. Ich habe ein schlechtes Gefühl,
> weil ich hier im Forum überwiegend nur Fragen stelle. Das
> kommt aber noch. Ihr seid super!!!!
Hallo,
[mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!*(n-k)!}=\bruch{1*2*3*...*(n-2)(n-1)*n}{(1*2*3*...*k)(1*2*3*...*(n-k)}
[/mm]
wobei du beispielsweise die Faktoren 1 bis k oder die Faktoren 1 bis (n-k) kürzen kannst.
Entsprechend ist
[mm] \vektor{n+1 \\ n-1}=\bruch{1*2*3*...*(n-2)(n-1)*n*(n+1)}{(1*2*3*...*(n-2)(n-1))*(1*2)}.
[/mm]
Nach dem Kürzen bleiben in Zähler und Nenner nur je zwei Faktoren stehen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mi 14.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Hi,
vielen Dank, kann ich jetzt hingehen und mir 3 mal den Limes schreiben
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\wurzel[n]{5\cdot2^{n}}\cdot\vektor{n+1 \\ n-1}\cdot(\bruch{2}{4n+1}-\bruch{1}{2n+1})=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5\cdot2^{n}}\cdot\limes_{n\rightarrow\infty}\vektor{n+1 \\ n-1}\cdot\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{4n+1}-\bruch{1}{2n+1}) [/mm] $ ? und mit dem [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vektor{n+1 \\ n-1} [/mm] hab ich das noch nicht so ganz gerafft.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mi 14.07.2010 | | Autor: | max3000 |
Nein das geht nicht.
Offensichtliches Beispiel dafür ist zum Beispiel:
[mm] $\lim_{x\rightarrow\infty}x^2*\frac{1}{x}$
[/mm]
Man sieht ja sofort, dass der Grenzwert [mm] \infty [/mm] ist.
Würdest du das jetzt Aufteilen, so wie du vorgeschlagen hast könnte man auch schreiben:
[mm] $\lim_{x\rightarrow\infty}x^2*\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}x^2*\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=\infty*0=?$
[/mm]
Das Problem ist ja, dass du nie weißt was stärker gegen irgendwas anderes geht.
Also schreib erstmal den Binomialkoeffizienten so hin, wie schon vorgeschlagen und dann schauen wir mal, was man eventuell kürzen kann.
Vielleicht hilft ja auch irgendwo der Satz von L'Hospital weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 14.07.2010 | | Autor: | lzaman |
ich habs mal ausgeschrieben:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5\cdot2^{n}}\cdot\vektor{n+1 \\ n-1}\cdot(\bruch{2}{4n+1}-\bruch{1}{2n+1})=\limes_{n\rightarrow\infty}(5\cdot2^{n})^\bruch{1}{n}\cdot\bruch{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}(n-2)(n-1)\cdot{}n\cdot{}(n+1)}{(1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}(n-2)(n-1))\cdot{}(1\cdot{}2)}\cdot(\bruch{4n+2-(4n+1)}{8n^{2}+6n+1}) [/mm] $
Ist das erstmal korrekt? leider bin ich auch schon am Ende mit meinem Latein, da ich den Koeffizienten nicht weiter behandelt bekomme.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lzaman!
Nun kannst Du doch in dem Bruch des ehemaligen Binomialkoeffizienten schön eine Menge kürzen.
Etwas schneller geht es vielleicht mit dieser Darstellung:
[mm] $$\vektor{n\\k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mi 14.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Darf ich hier nun etwas kürzen
?
[mm] \bruch{(n+1)!}{(n-1)!\cdot(\underbrace{(n+1)-(n-1)}_{ist\;dieser\;Ausdruck=2?})!}
[/mm]
Falls ja was?
etwa: [mm] \bruch{(n+1)!}{(n-1)!\cdot2!}
[/mm]
Ich raffe es nicht so ganz! Sorry!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lzaman!
> etwa: [mm]\bruch{(n+1)!}{(n-1)!\cdot2!}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun die Definition der Fakultät anwenden mit:
$$(n+1)! \ = \ (n-1)!*n*(n+1)$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Mi 14.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Loddar du bist der beste!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mi 14.07.2010 | | Autor: | lzaman |
mit [mm] \vektor{n+1 \\ n-1}=\bruch{(n+1)!}{(n-1)!\cdot2!}=\bruch{(n-1)!*n*(n+1)}{(n-1)!\cdot2!}=\bruch{n^2+n}{2} [/mm] folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(5\cdot2^{n})^\bruch{1}{n}\cdot\bruch{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}(n-2)(n-1)\cdot{}n\cdot{}(n+1)}{(1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}(n-2)(n-1))\cdot{}(1\cdot{}2)}\cdot(\bruch{4n+2-(4n+1)}{8n^{2}+6n+1}) [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}5^\bruch{1}{n}\cdot2^{1}\cdot\bruch{n^2+n}{2}\cdot(\bruch{1}{8n^{2}+6n+1}) [/mm]
Muss ich nun die Brüche ausmultiplizieren und dann durch die höchste Potenz teilen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Do 15.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich würde es eher nennen "die höchste Potenz ausklammern" und dann kürzen.
Info: Du hast am Anfang in deinem ersten Term 2n gehabt, jetzt hasst du [mm] 2^{n}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Tippfehler, habs verbessert. Muss [mm] 2^{n} [/mm] sein.
Danke für die Aufmerksamkeit...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5\cdot2^{n}}\cdot\vektor{n+1 \\ n-1}\cdot(\bruch{2}{4n+1}-\bruch{1}{2n+1}) [/mm] $ |
Dank eurer Hilfe bin ich schon sehr weit gekommen:
mit $ [mm] \vektor{n+1 \\ n-1}=\bruch{(n+1)!}{(n-1)!\cdot2!}=\bruch{(n-1)!\cdot{}n\cdot{}(n+1)}{(n-1)!\cdot2!}=\bruch{n^2+n}{2} [/mm] $ folgt:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(5\cdot2^{n})^\bruch{1}{n}\cdot\bruch{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}(n-2)(n-1)\cdot{}n\cdot{}(n+1)}{(1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}(n-2)(n-1))\cdot{}(1\cdot{}2)}\cdot(\bruch{4n+2-(4n+1)}{8n^{2}+6n+1}) [/mm] $
$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}5^\bruch{1}{n}\cdot2^{1}\cdot\bruch{n^2+n}{2}\cdot(\bruch{1}{8n^{2}+6n+1}) [/mm] $
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{5}\cdot(n^2+n)}{8n^{2}+6n+1}
[/mm]
Wie kann ich jetzt noch Zähler und Nenner weiter behandeln?
Mein Vorschlag wäre:
1. Grenzwertsatz für Quotientenfolgen
2. Grenzwertsatz für Summenfolgen
würde bedeuten [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] also nun L'Hospital ?
Würde gerne auf ihn verzichten...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Do 15.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lzaman!
Es geht auch ohne de l'Hospital. Betrachte:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{5}\cdot(n^2+n)}{8n^{2}+6n+1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5}*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+n}{8n^2+6n+1}$$
[/mm]
Beim hinteren Term nun [mm] $n^2$ [/mm] ausklammern und kürzen.
Anschließend die Grenzwertbetrachtung ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Hi,
> Es geht auch ohne de l'Hospital. Betrachte:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{5}\cdot(n^2+n)}{8n^{2}+6n+1}[/mm]
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5}*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+n}{8n^2+6n+1}[/mm]
>
> Beim hinteren Term nun [mm]n^2[/mm] ausklammern und kürzen.
> Anschließend die Grenzwertbetrachtung ...
Wieso darf ich hier den Grenzwertsatz für Produktfolgen anwenden und hierbei: $ [mm] \lim_{x\rightarrow\infty}x^2\cdot{}\frac{1}{x} [/mm] $ nicht?
Edit: Antwort: Für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n} [/mm]
[mm] \lim _{n\to \infty}a_n+b_n=\lim _{n\to \infty}a_n+\lim _{n\to \infty}b_n
[/mm]
[mm] \lim _{n\to \infty}a_n-b_n=\lim _{n\to \infty}a_n-\lim _{n\to \infty}b_n
[/mm]
[mm] \lim _{n\to \infty}a_n*b_n=\lim _{n\to \infty}a_n*\lim _{n\to \infty}b_n
[/mm]
[mm] \lim _{n\to \infty}\bruch{a_n}{b_n}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}b_n}
[/mm]
gelten die Grenzwertsätze, wenn die Grenzwerte auch existieren, d. h. wenn keine der beiden Folgen gegen Unendlich [mm] (\infty) [/mm] läuft.
Also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5}*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2(1+\bruch{1}{n})}{n^2(8+\bruch{6}{n}+\bruch{1}{n^2})}=1\cdot\bruch{1}{8}=\bruch{1}{8}
[/mm]
Hab ich es nun endlich geschafft? Ist das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Daaaaaaaaaaaannnnnnnnnkkkkkkkkeeeeeeeee!!!
|
|
|
|
