Grenzwert < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Do 09.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | Grenzwert berechnen:
K) lim x-> unendlich ln(x)/x |
Moin,
Könnt ihr mir bitte ein Tipp geben, wie man die Aufgabe berechnen muss? Hab keinen Ansatz.
Gruß
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Hallo,
> Grenzwert berechnen:
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> K) lim x-> unendlich ln(x)/x
Schreibt sich [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}$
[/mm]
> Moin,
>
> Könnt ihr mir bitte ein Tipp geben, wie man die Aufgabe
> berechnen muss? Hab keinen Ansatz.
Ein Ansatz wäre es, die Regel von de L'Hôpital zu benutzen, denn bei direktem Grenzübergang ergibt sich ja ein unbestimmter Ausdruck der Form [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Do 09.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Ja gut dank, hab hier nur ein smartphone, damit klappt das kopieren nicht so gut. L'Hospital dürfen wir leider nicht benutzen. Geht das auch ohne?
Gruss
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Hallo,
> Ja gut dank, hab hier nur ein smartphone, damit klappt das
> kopieren nicht so gut. L'Hospital dürfen wir leider nicht
> benutzen. Geht das auch ohne?
Natürlich, aber das hängt davon ab, was du schon weißt ...
Kennst du Abschätzungen für den [mm] $\ln$?
[/mm]
Weißt du, dass der langsamer wächst als jede Potenz von $x$ ?
Das könntest du verwenden.
Etwa in Verbindung mit dem Einschließungslemma oder der Definition des Grenzwertes mit [mm] $\varepsilon$ [/mm] usw.
Was vermutest du denn, wogegen das strebt?
> Gruss
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Do 09.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Wenn der Nenner stärker wächst als der Zähler, dann konvergiert es geehen Null. Einschließungslemm kenn ich nicht und mit epsilon haben wir die Definition für den Grenzwert einer Funktion aufgeschrieben. Aber das übersteigt meinen Horizont. Ist etwas verwirrend mit der Umgebung epsilon...
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Do 09.01.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
Tipp: 30 Minuten hinsetzen und versuchen das ganze mit der [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] zu verstehen.
Sowas brauchst du "tagtäglich" im Mathematikgeschäft.
Lieber jetzt versuchen zu verstehen als danach große Augen zu machen und gar nichts mehr mitzuschneiden.
So schwer ist es nicht, man muss sich nur mal in Ruhe damit auseinandersetzen...
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Hallo dragoNru,
ich benenne die Variable mal in $n$ um, vielleicht kommt Dir dann was bekannt vor. 
[mm] \bruch{\ln{(n)}}{n}=\bruch{1}{n}*\ln{(n)}=\ln{\left(n^{\bruch{1}{n}}\right)}=\ln{\wurzel[n]{n}}
[/mm]
Weißt Du, was [mm] \lim_{n\to\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] ist?
Dann bist Du schnell fertig.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo dragoNru,
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> ich benenne die Variable mal in [mm]n[/mm] um, vielleicht kommt Dir
> dann was bekannt vor.
>
> [mm]\bruch{\ln{(n)}}{n}=\bruch{1}{n}*\ln{(n)}=\ln{\left(n^{\bruch{1}{n}}\right)}=\ln{\wurzel[n]{n}}[/mm]
>
> Weißt Du, was [mm]\lim_{n\to\infty}\wurzel[n]{n}[/mm] ist?
>
> Dann bist Du schnell fertig.
Hallo reverend,
nicht so voreilig ! Ist a [mm] \in \IR [/mm] und f:[a, [mm] \infty) \to \IR [/mm] eine Funktion für die der Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty, n \in \IN}f(n)
[/mm]
existiert, so muß der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)
[/mm]
i.a. nicht existieren.
Beispiel: [mm] f(x)=\sin(\pi*x)
[/mm]
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Do 09.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Wow, das hab ich mal gar nicht gesehen, clever.
Danke, danach lief das wieder.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wow, das hab ich mal gar nicht gesehen, clever.
>
> Danke, danach lief das wieder.
Hast Du das
https://www.vorhilfe.de/read?i=1002176
nicht gelesen ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Do 09.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Doch, aber als ich den Text geschrieben habe, kam deine Antwort. Somit darf man das wohl so nicht lösen :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Do 09.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Doch, aber als ich den Text geschrieben habe, kam deine
> Antwort. Somit darf man das wohl so nicht lösen :(
Auch hier: nicht so voreilig.
Fred hat aufgrund der Variablenbenennung angenommen, dass ich [mm] n\in\IN [/mm] meine. Das habe ich aber nicht behauptet.
Nehmen wir also weiter [mm] x\in\IR.
[/mm]
Was ist nun [mm] \lim_{x\to\infty}x^{\bruch{1}{x}} [/mm] ?
Mit der allgemeinen Anmerkung hat Fred natürlich Recht. Aber wie ist es hier im vorliegenden Fall? Darf man, oder darf man nicht?
Denk mal drüber nach.
Tipp: Monotonie von [mm] f(x)=x^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> > Doch, aber als ich den Text geschrieben habe, kam deine
> > Antwort. Somit darf man das wohl so nicht lösen :(
>
> Auch hier: nicht so voreilig.
>
> Fred hat aufgrund der Variablenbenennung angenommen, dass
> ich [mm]n\in\IN[/mm] meine. Das habe ich aber nicht behauptet.
>
> Nehmen wir also weiter [mm]x\in\IR.[/mm]
>
> Was ist nun [mm]\lim_{x\to\infty}x^{\bruch{1}{x}}[/mm] ?
Hallo reverend,
da dreht man sich doch im Kreise ! für a>0 und t [mm] \in \IR [/mm] ist die allgemeine Potenz definiert (!) als
[mm] a^t:=e^{t*ln(a)}.
[/mm]
Damit hat man für positive x:
[mm] x^{\bruch{1}{x}}=e^{\bruch{ln(x)}{x}}.
[/mm]
Gruß Fred
>
> Mit der allgemeinen Anmerkung hat Fred natürlich Recht.
> Aber wie ist es hier im vorliegenden Fall? Darf man, oder
> darf man nicht?
>
> Denk mal drüber nach.
>
> Tipp: Monotonie von [mm]f(x)=x^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> Grüße
> reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Do 09.01.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
es gilt für $x > 1$: $0 [mm] \le \bruch{\ln(x)}{x} \le \bruch{\ln(x)}{x-1} [/mm] = [mm] \bruch{ln(x) - \ln(1)}{x-1}$
[/mm]
edit: ist nen schöner Ansatz, bringt nur doch nicht so schnell das Erhoffte......
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Do 09.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Danke für den Beitrag. Werde mit Hilfe des log Gesetzes und weil lim x -> unendlich [mm] x^{1/x} [/mm] gegen 1 konvergiert die Aufgabe lösen.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Beitrag. Werde mit Hilfe des log Gesetzes
> und weil lim x -> unendlich [mm]x^{1/x}[/mm] gegen 1 konvergiert die
> Aufgabe lösen.
>
> Gruß
Und wie zeigst Du [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^{1/x}=1 [/mm] ????
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Do 09.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Und genau deswegen ist es so schön, dass ich kein Mathe studiere. :)
Unser Prof. hat das vorgegeben, wir müssen das in diesem Studiengang nicht beweisen. Hätte aber auch keine Idee, wie man das beweist.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Und genau deswegen ist es so schön, dass ich kein Mathe
> studiere. :)
> Unser Prof. hat das vorgegeben, wir müssen das in diesem
> Studiengang nicht beweisen. Hätte aber auch keine Idee,
> wie man das beweist.
>
> Gruß
Dann lies das mal:
https://matheraum.de/read?i=1002189
Daraus geht hervor, dass die berechnung von $ [mm] \lim_{x\to\infty}x^{\bruch{1}{x}} [/mm] $ wieder auf die Berechnung von [mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{\ln(x)}{x} [/mm] führt.
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Mein Vorschlag: sei x>1 und [mm] t:=\ln(x), [/mm] also [mm] x=e^t.
[/mm]
Dann ist
$ 0 [mm] \le \bruch{\ln(x)}{x}= \bruch{t}{e^t}= \bruch{t}{1+t+\bruch{t^2}{2!}+...} \le \bruch{t}{\bruch{t^2}{2!}} =\bruch{2}{t}=\bruch{2}{\ln(x)}$
[/mm]
Es folgt: [mm] $\bruch{\ln(x)}{x} \to [/mm] 0$ für $x [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
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