matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenGrenzwert
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert
Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwert: beweisen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Do 23.01.2014
Autor: AnnaHundi

Hey,
ich habe so meine Probleme mit folgender Aufgabe:
Es sei [mm] n\ge [/mm] N und für k = 0,1,2,...,n sei [mm] z_{k} [/mm] := [mm] e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}} [/mm]
1. Interpretieren Sie die Summe: [mm] \produkt_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}*z_{k}| [/mm] geometrisch

2. berechnen Sie den Grenzwert [mm] lim_{n->\infty} \produkt_{n} [/mm]

Hinweis:
Es ist |sin(x)-x| [mm] \le \frac{|x^3|}{6} [/mm] für [mm] |x|\le2 [/mm]

Mein Ansatz:
1. Summe geometrisch interpretieren:
Leider fällt mir hier nicht mehr ein, als das dies die Länge der Strecke ist, die dich am Einheitskreis liegen und summiert werden Beispielweise habe ich für [mm] z^{6} [/mm] ja ein Sechseck  und weiß das die Summe der 6 Strecken immer kleiner ist als der Umfang des Einheitskreisen
Habt ihr sonst noch eine Idee?

zu 2.
Ich überlege nun schon so lange und habe leider gar keine Idee wie ich hier ansetzen soll. Ich weiß ja das [mm] e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}} [/mm] für [mm] e^{i*2*\pi}= [/mm] 1 ist.  hilft mir das an dieser Stelle weiter?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. LG
AnnaHundi


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Do 23.01.2014
Autor: fred97


> Hey,
>  ich habe so meine Probleme mit folgender Aufgabe:
>  Es sei [mm]n\ge[/mm] N und für k = 0,1,2,...,n sei [mm]z_{k}[/mm] :=
> [mm]e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}}[/mm]
>  1. Interpretieren Sie die Summe: [mm]\produkt_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}*z_{k}|[/mm]
> geometrisch
>
> 2. berechnen Sie den Grenzwert [mm]lim_{n->\infty} \produkt_{n}[/mm]
>  
> Hinweis:
>  Es ist |sin(x)-x| [mm]\le \frac{|x^3|}{6}[/mm] für [mm]|x|\le2[/mm]
>  
> Mein Ansatz:
>  1. Summe geometrisch interpretieren:
>  Leider fällt mir hier nicht mehr ein, als das dies die
> Länge der Strecke ist, die dich am Einheitskreis liegen
> und summiert werden Beispielweise habe ich für [mm]z^{6}[/mm] ja
> ein Sechseck  und weiß das die Summe der 6 Strecken immer
> kleiner ist als der Umfang des Einheitskreisen
>  Habt ihr sonst noch eine Idee?

Es ist [mm] z_k^n=1 [/mm]  für k=0,1,..,n, [mm] |z_k|=1. [/mm]

Ist Dir klar, dass [mm] \produkt_{n}=n [/mm] für jedes n ist ?

>  
> zu 2.
> Ich überlege nun schon so lange und habe leider gar keine
> Idee wie ich hier ansetzen soll. Ich weiß ja das
> [mm]e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}}[/mm] für [mm]e^{i*2*\pi}=[/mm] 1 ist.

Kannst Du mir sagen, was Du damit meinst ?

Aus [mm] \produkt_{n}=n [/mm] folgt: $ [mm] \lim_{n->\infty} \produkt_{n} [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]

FRED

> hilft mir
> das an dieser Stelle weiter?
>  
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen. LG
>  AnnaHundi
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Do 23.01.2014
Autor: AnnaHundi


> >
> > 2. berechnen Sie den Grenzwert [mm]lim_{n->\infty} \produkt_{n}[/mm]
>  
> >  

> > Hinweis:
>  >  Es ist |sin(x)-x| [mm]\le \frac{|x^3|}{6}[/mm] für [mm]|x|\le2[/mm]
>  >  
> > Mein Ansatz:
>  >  1. Summe geometrisch interpretieren:
>  >  Leider fällt mir hier nicht mehr ein, als das dies die
> > Länge der Strecke ist, die dich am Einheitskreis liegen
> > und summiert werden Beispielweise habe ich für [mm]z^{6}[/mm] ja
> > ein Sechseck  und weiß das die Summe der 6 Strecken immer
> > kleiner ist als der Umfang des Einheitskreisen
>  >  Habt ihr sonst noch eine Idee?
>  
> Es ist [mm]z_k^n=1[/mm]  für k=0,1,..,n, [mm]|z_k|=1.[/mm]

Wie kommst du denn darauf das |z|=1 ist?

>  
> Ist Dir klar, dass [mm]\produkt_{n}=n[/mm] für jedes n ist ?

Leider nein. Wärst du so lieb und würdest mir das erklären?

>  >  
> > zu 2.
> > Ich überlege nun schon so lange und habe leider gar keine
> > Idee wie ich hier ansetzen soll. Ich weiß ja das
> > [mm]e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}}[/mm] für [mm]e^{i*2*\pi}=[/mm] 1 ist.
>
> Kannst Du mir sagen, was Du damit meinst ?

Ich dachte, das diese Info vielleicht hilfreich wäre um den Grenzwert zu bestimmen

>
> Aus [mm]\produkt_{n}=n[/mm] folgt: [mm]\lim_{n->\infty} \produkt_{n} = \infty[/mm]

Aber welchen Sinn verfolgt dann der oben genannte Hinweis?

LG


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Do 23.01.2014
Autor: fred97


>
> > >
> > > 2. berechnen Sie den Grenzwert [mm]lim_{n->\infty} \produkt_{n}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Hinweis:
>  >  >  Es ist |sin(x)-x| [mm]\le \frac{|x^3|}{6}[/mm] für [mm]|x|\le2[/mm]
>  >  >  
> > > Mein Ansatz:
>  >  >  1. Summe geometrisch interpretieren:
>  >  >  Leider fällt mir hier nicht mehr ein, als das dies
> die
> > > Länge der Strecke ist, die dich am Einheitskreis liegen
> > > und summiert werden Beispielweise habe ich für [mm]z^{6}[/mm] ja
> > > ein Sechseck  und weiß das die Summe der 6 Strecken immer
> > > kleiner ist als der Umfang des Einheitskreisen
>  >  >  Habt ihr sonst noch eine Idee?
>  >  
> > Es ist [mm]z_k^n=1[/mm]  für k=0,1,..,n, [mm]|z_k|=1.[/mm]
>  
> Wie kommst du denn darauf das |z|=1 ist?

Ist t [mm] \in \IR, [/mm] so ist [mm] |e^{it}|=1. [/mm] Mach Dir das mit [mm] $e^{it}=cos(t)+isin(t)$ [/mm] klar.


>  
> >  

> > Ist Dir klar, dass [mm]\produkt_{n}=n[/mm] für jedes n ist ?
>  Leider nein. Wärst du so lieb und würdest mir das
> erklären?

Es ist [mm] |z_k|=1, [/mm] also auch [mm] |z_k*z_{k+1}|=1. [/mm] Somit:

    $ [mm] \produkt_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}\cdot{}z_{k}| [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1} [/mm] 1=n$


>  
> >  >  

> > > zu 2.
> > > Ich überlege nun schon so lange und habe leider gar keine
> > > Idee wie ich hier ansetzen soll. Ich weiß ja das
> > > [mm]e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}}[/mm] für [mm]e^{i*2*\pi}=[/mm] 1 ist.
> >
> > Kannst Du mir sagen, was Du damit meinst ?
> Ich dachte, das diese Info vielleicht hilfreich wäre um
> den Grenzwert zu bestimmen
>  >

> > Aus [mm]\produkt_{n}=n[/mm] folgt: [mm]\lim_{n->\infty} \produkt_{n} = \infty[/mm]
>  
> Aber welchen Sinn verfolgt dann der oben genannte Hinweis?

Das frage den Aufgabensteller !!

FRED

>  
> LG
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]