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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert
Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 So 28.02.2016
Autor: Reynir

Hi,
ich hätte eine Frage und zwar, wenn ich $x<1$ habe und [mm] $lim_{n \rightarrow \infty}n x^n$ [/mm] betrachte, wieso konvergiert das gegen 0 bzw. tut es das, weil ich sehe es nicht, aber laut Skript stimmt es wohl.
Viele Grüße,
Reynir

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 So 28.02.2016
Autor: notinX

Hallo,

> Hi,
>  ich hätte eine Frage und zwar, wenn ich [mm]x<1[/mm] habe und
> [mm]lim_{n \rightarrow \infty}n x^n[/mm] betrachte, wieso
> konvergiert das gegen 0 bzw. tut es das, weil ich sehe es
> nicht, aber laut Skript stimmt es wohl.
>  Viele Grüße,
>  Reynir

das ist ein Produkt eines Polynoms (bzw. eines Monoms) $n$ und einer Exponentialfunktion [mm] $x^n$. [/mm] Da Exponentialfunktionen 'schneller' wachsen als jedes Polynom kovergiert der Term gegen 0.

Gruß,

notinX

Bezug
        
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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 So 28.02.2016
Autor: DieAcht

Hallo Reynir!


Die Aussage stimmt nur für [mm] $|x|<1\$. [/mm]


Gruß
DieAcht

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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Mo 29.02.2016
Autor: fred97


> Hi,
>  ich hätte eine Frage und zwar, wenn ich [mm]x<1[/mm] habe und
> [mm]lim_{n \rightarrow \infty}n x^n[/mm] betrachte, wieso
> konvergiert das gegen 0 bzw. tut es das, weil ich sehe es
> nicht, aber laut Skript stimmt es wohl.
>  Viele Grüße,
>  Reynir


Die Acht hats schon gesagt: es sollte $|x|<1$ lauten. Sei also $|x|<1$.

Für x=0 ist die Sache klar. Den Fall x<0 kann man auf den Fall x>0 zurückführen:

    ist x<0, so ist t:=-x >0 und [mm] nx^n=n(-t)^n=(-1)^nnt^n. [/mm]

Bleibt noch der Fall x>0. Wegen [mm] \bruch{1}{x}>1 [/mm] gibt es ein a>0 mit [mm] \bruch{1}{x}=1+a. [/mm]

Mit dem binom. Satz bekommen wir für n>1:

  [mm] $\bruch{1}{x^n}=(1+a)^n [/mm] > [mm] \vektor{n \\ 2}a^2=\bruch{a^2*n*(n-1)}{2}, [/mm] $

also

  [mm] $x^n [/mm] < [mm] \bruch{2}{a^2*n*(n-1)}$ [/mm]

und somit

  $0 < [mm] nx^n <\bruch{2}{a^2*(n-1)}$ [/mm]  für n>1.

Mit dem "Sandwich- Theorem" folgt nun die Behauptung.

FRED

Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 Mo 29.02.2016
Autor: Reynir

Hi,
danke für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Reynir

Bezug
        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 Di 01.03.2016
Autor: fred97

Noch eine Möglichkeit: betrachte die Reihe

(*)   [mm] \summe_{n=1}^{\infty}nx^n [/mm]

und bemühe das Wurzelkriterium:


[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|nx^n|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}|x|=|x|$ [/mm]

Nun sieht man: für $|x|<1$ ist die Reihe in (*) konvergent, somit ist für diese x die Folge [mm] (nx^n) [/mm] eine Nullfolge.

FRED


Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Mo 07.03.2016
Autor: Reynir

Hi,
auch hier danke ich dir für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Reynir

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