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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Fr 22.12.2006 | | Autor: | cardia |
| Aufgabe | Ermitteln Sie den Grenzwert [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] an der Stelle [mm] x_{0}
[/mm]
a) [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] mit [mm] x\in\IR [/mm] \ {0} zu erwarten ist ja [mm] \bruch{dy}{dx}=-\bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
b) [mm] f(x)=\wurzel{\pi*x} [/mm] mit [mm] x\in\IR [/mm] zu erwarten ist hier [mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{\pi}{2*\wurzel{\pi*x}} [/mm] |
Hallo!
Meine Ansätze lauten (bringen mich aber leider nicht zum Ziel).
Bitte Hilfe! Danke!!!!!
a) erst mal umschreiben
[mm] f(x)=x^{-1}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(x_{0}+h)^{-1}-x_{0}^{-1}}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{x_{0}*h+h^{2}}-\bruch{1}{x_{0}*h}
[/mm]
[mm] \Idots [/mm] und weiter? oder besser anders?
b) [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{\pi*(x_{0}+h)}-\wurzel{\pi*x_{0}}}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{[\pi*(x_{0}+h)]^{1/2}-[\pi*x_{0}]^{1/2}}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{[\pi*x_{0}+\pi*h]^{1/2}}{h}-\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{[\pi*x_{0}]^{1/2}}{h}
[/mm]
[mm] \Idots [/mm] und jetzt ist auch hier für mich feierabend...
DANKE DANKE DANKE.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Fr 22.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo cardia!
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(x_{0}+h)^{-1}-x_{0}^{-1}}{h}[/mm] = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{x_{0}*h+h^{2}}-\bruch{1}{x_{0}*h}[/mm]
Und nun bringe beide Brüche auf den Hauptnenner und fasse zusammen. Anschließend die Grenzwertbetrachtung [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ .
Ich selber hätte es in dieser Darstellung belassen: [mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{x_0+h}-\bruch{1}{x_0}}{h} [/mm] \ = \ ...$
> b) [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{\pi*(x_{0}+h)}-\wurzel{\pi*x_{0}}}{h}[/mm]
Erweitere hier den Bruch mit [mm] $\left( \ \wurzel{\pi*(x_0+h)} \ \red{+} \ \wurzel{\pi*x_0} \ \right)$ [/mm] zu einer 3. binomischen Formel im Zähler und fasse zusammen. Anschließend die Grenzwertbetrachtung [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 22.12.2006 | | Autor: | cardia |
Hallo Loddar!
Erstmal danke für die schnelle Antwort (freu!) 
zu Antwort a) Doch wie bitte soll denn der HN von Aufgabe a sein? Manchmal ist wahrscheinlich das einfachste echt zu schwer. :-( Ich habe die Aufgabe aber nur mit der Grenzwertregel von Bernoulli und de l´Hospital lösen können.
zu Antwort b) ... moment ich rechne noch mal kurz....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Fr 22.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo cardia!
Zunächst einmal:  de l'Hospital ist hier mit Sicherheit nicht sinnvoll, da ja die Ableitungen erst ermittelt werden sollen und dabei schon verwendet werden.
In Deiner Darstellung lauten die beiden Nenner: [mm] $x_0*h+h^2 [/mm] \ = \ [mm] h*(x_0+h)$ [/mm] sowie [mm] $x_0*h$ [/mm] .
Damit haben wir als Hautnenner: [mm] $x_0*h*(x_0+h)$
[/mm]
In meiner Darstellung mit $ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{x_0+h}-\bruch{1}{x_0}}{h} [/mm] \ = \ ... $ sollte der Hauptnenner im Zähler des Doppelbruches aber schnell klar sein, oder?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Fr 22.12.2006 | | Autor: | cardia |
Oh Mannnn - jetzt ja!
Danke!
Ich hatte jetzt vor lauter Bäume den Wald nicht mehr gesehen!
(habe mich verschrieben und dann war der Wurm drin)....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 22.12.2006 | | Autor: | cardia |
| Aufgabe | | Teil b nach Erweiterung |
Dann hänge ich weiter dort:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{(\pi*(x_{0}+h))-(\pi*x_{0})}{h*\wurzel{\pi*(x_{0}+h)}+h*\wurzel{\pi*x_{0}}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Fr 22.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo cardia!
Multipliziere im Zähler mal aus und fasse zusammen. Was verbleibt?
Dann kannst Du noch durch $h_$ kürzen und anschließend die Grenzwertbetrachtung.
Gruß
Loddar
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