Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:22 Do 28.12.2006 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Berechne die Grenzwerte in [mm] \hat \IR
[/mm]
a) [mm] \lim_{x \to \infty} [(x+1)^{1/p}+(x-1)^{1/p}
[/mm]
b) [mm] \lim_{x \to 1} \bruch{\wurzel[p]{x} - 1}{\wurzel[q]{x} - 1} [/mm] für p,q [mm] \in \IN
[/mm]
c) [mm] \lim_{n \to \infty} \bruch{x^{2n}}{n^2} [/mm] für x [mm] \in \IR
[/mm]
und begründe deine Ergebnisse. |
Hey kann mir jemand dabei helfen?
Ich weiß leider garnicht, wie ich da vorgehen soll.
Danke schon mal...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sharik!
Darfst Du auch mit dem  Grenzwertsatz nach de l'Hospital arbeiten?
> c) [mm]\lim_{n \to \infty} \bruch{x^{2n}}{n^2}[/mm]
[mm] $x^{2n} [/mm] \ = \ [mm] \left(x^2\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln(x^2)} \ \right]^n [/mm] \ = \ [mm] e^{n*\ln(x^2)}$
[/mm]
Damit hast Du für den Bruch den Fall [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] und Voraussetzung für besagten Herrn de l'Hospital.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Do 28.12.2006 | | Autor: | Sharik |
Falls ich mich nicht täusche wurde der Satz von l´Hospital noch nicht eingeführt.
Gäbe es denn eine andere Möglichkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sharik!
Schreiben wir erst einmal um: [mm]\lim_{x \to 1} \bruch{\wurzel[p]{x} - 1}{\wurzel[q]{x} - 1} \ =\ \lim_{x \to 1} \bruch{x^{\bruch{1}{p}} - 1}{x^{\bruch{1}{q}} - 1} [/mm]
Da wir hier den Fall [mm] $\bruch{1-1}{1-1}=\bruch{0}{0}$ [/mm] haben, können wir also wieder mit de l'Hospital arbeiten ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Do 28.12.2006 | | Autor: | Sharik |
> Hallo Sharik!
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> Schreiben wir erst einmal um: [mm]\lim_{x \to 1} \bruch{\wurzel[p]{x} - 1}{\wurzel[q]{x} - 1} \ =\ \lim_{x \to 1} \bruch{x^{\bruch{1}{p}} - 1}{x^{\bruch{1}{q}} - 1}[/mm]
>
> Da wir hier den Fall [mm]\bruch{1-1}{1-1}=\bruch{0}{0}[/mm] haben,
> können wir also wieder mit de l'Hospital arbeiten ...
>
aber hier geht doch x gegen 1 bedeutet das nicht, dass x die Zahl 1 nie erreicht? Und müsste ich hier nicht auch ein Fallunterscheidung machen was schneller wächst die p-te oder q-te Wurzel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Fr 29.12.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
du hast schon recht, wenn du sagst, dass x die Zahl 1 niemals erreicht, aber trotzdem musst du doch irgendwie feststellen gegen welchen Wert dann der Wert der Wurzel läuft, und wenn x nunmal gegen 1 läuft, dann läuft die Wurzel nunmal auch gegen 1 und somit der Zähler und der Nenner jeweils gegen 0. Und eine Fallunterscheidung brauchst du hier überhaupt nicht, da egal welche Wurzel aus 1 immer wieder 1 ist.
Es läuft wie Loddar schon gesagt hat, wieder auf L'Hospital hinaus.
Gruß,
clwoe
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