Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Stellen Sie fest, ob die angegebenen Folgen konvergieren und geben Sie für die konvergenten Folgen den Grenzwert an
[mm] a_n=\wurzel{4n^2-5n+2}-2n [/mm] |
Also angeblich soll da ja -5/4 rauskommen aber ich kann den seinen Ausführungen nicht Folgen. Also fals jemand Lust und Zeit hat mir den Lösungsweg mal aufzuschreiben das wäre toll
|
|
| |
|
Hallo Nadine,
erweitere doch mal den Ausdruck so, dass du die Wurzel mit der 3. binomischen Formel raushauen kannst.
Also mit [mm] \frac{\sqrt{4n^2-5n+2}\red{+}2n}{\sqrt{4n^2-5n+2}\red{+}2n}
[/mm]
Dann erhältst du:
[mm] \sqrt{4n^2-5n+2}-2n=\frac{\left(\sqrt{4n^2-5n+2}-2n\right)\cdot{}\left(\sqrt{4n^2-5n+2}+2n\right)}{\sqrt{4n^2-5n+2}+2n}
[/mm]
[mm] =\frac{4n^2-5n+2-4n^2}{\sqrt{4n^2-5n+2}+2n}=\frac{-5n+2}{\sqrt{4n^2-5n+2}+2n}
[/mm]
Nun klammere mal unter der Wurzel [mm] 4n^2 [/mm] aus und ziehe es anschließend aus der Wurzel....
Dann noch im Zähler und Nenner n ausklammen und den Grenzübergang [mm] n\to\infty [/mm] angucken
Dann siehste das mit dem GW [mm] -\frac{5}{4}
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Aber wieso ist unter dem bruchstrich dann am ende aber +2n obwohl es doch in der Aufgabenstellung ne -2n ist??
Ich bin einfach zu blöd für folgen
|
|
|
| |
|
Hi,
steht doch oben 
Wir haben den Wurzelausdruck ja mit [mm] {\sqrt{4n^2-5n+2}\red{+}2n} [/mm] im Zähler [mm] \underline{und} [/mm] Nenner erweitert, also quasi eine 1 dranmultipliziert
Dadurch haben wir im Zähler die 3. binomische Formel hingebastelt und mussten dafür den Wurzelausdruck im Nenner in Kauf nehmen, aber mit [mm] \red{+} [/mm] wegen der obigen Erweiterung!!
Nun klarer? Sonst frag ruhig nochmal nach
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Jo also das is mir jetzt klar geworden
aber was ich jetzt noch weiter nicht verstehe ist wen ich die [mm] 4n^2 [/mm] aus der wurzel ziehe was mir das bringt steig da nich dahinter...
und dann wenn ich n ausklammer komm ich nich auf -5/4 weil da ja unterm strich -5 und +2 trotzdem steht und das is doch nich vier oder etwa doch
|
|
|
| |
|
Hallo Nadine,
schreib mir mal deinen erweiterten und zusammengefassten Ausdruck auf, dann helfe ich dir weiter beim Ausklammern von [mm] 4n^2 [/mm] und bei der weiteren Rechnung, aber ich werde nicht alles vormachen...
Also zeig her, was du hast
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | [mm] \bruch{n8-5+2}{n\wurzel{4n^2-5n+2}+2n} [/mm] |
sowas hab ich raus und da bleib ich hängen und komme wie gesagt nicht auf die -5/4 also ein paar nullfolgen krieg ich ja raus aber nich so viele das es zum endergebnis reicht
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
wie kommst du auf den Zähler?
In einem der oberen posts waren wir nach der Erweiterung bei
[mm] \frac{-5n+2}{\sqrt{4n^2-5n+2}+2n}
[/mm]
Hier klammern wir [mm] 4n^2 [/mm] unter der Wurzel aus:
[mm] =\frac{-5n+2}{\sqrt{4n^2\left(1-\frac{5}{4n}+\frac{1}{2n^2}\right)}+2n}
[/mm]
Nun die [mm] 4n^2 [/mm] unter der Wurzel rausholen (n>0!!)
[mm] =\frac{-5n+2}{2n\sqrt{1-\frac{5}{4n}+\frac{1}{2n^2}}+2n}
[/mm]
Nun n im Zähler und Nenner ausklammern:
[mm] =\frac{n\left(-5+\frac{2}{n}\right)}{n\left(2\sqrt{1-\frac{5}{4n}+\frac{1}{2n^2}}+2\right)}
[/mm]
Noch n kürzen:
[mm] =\frac{-5+\frac{2}{n}}{2\sqrt{1-\frac{5}{4n}+\frac{1}{2n^2}}+2}
[/mm]
Hier nun [mm] n\to\infty [/mm] laufen lassen
[mm] \longrightarrow \frac{-5+0}{2\sqrt{1-0+0}+2}=\frac{-5}{4}
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hui das war ne schwere geburt aber ich glaub es hat klick gemacht
Nur noch eine kleine Frage die 1 die in der Wurzel bleibt beachte ich dann nich weiter?
|
|
|
| |
|
Hi,
das ist ja ein munteres Hin- und Her
beim Grenzübergang wird der Wurzelausdruck ja zu [mm] \sqrt{1-0+0}=\sqrt{1}=1
[/mm]
Also tut der in dem Produkt der Grenzwerte nicht weh
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ok danke,
du bist ein schatz ich könnt dich knutschen
|
|
|
|
