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| Aufgabe | Stellen Sie fest, ob die angegebenen Folgen konvergieren und geben Sie für die konvergenten Folgen den Grenzwert an.
[mm] a_n=n^2(\wurzel{n^4+4}-n^2)
[/mm]
und die vielleicht noch
[mm] a_n=\bruch{1}{n+2}\summe_{k=1}^{n}k-\bruch{n}{2} [/mm] |
Es tut mir Leid aber ich bin einfach zu doof dafür;-(
es soll 2 rauskommen aber wieso bei der ersten und bei der zweiten -1/2
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Hallo Nadine,
ich hab ne Teilantwort zu (a) 
(b) muss ich mir näher anschauen...
Also im Prinzip kannst du das genau wie die andere Aufgabe mit dem Wurzelausdruck, also die in deinem anderen post angehen.
Erweitere den ganzen Ausdruck mal mit [mm] \frac{\sqrt{n^4+4}\red{+}n^2}{\sqrt{n^4+4}\red{+}n^2}
[/mm]
Dann versuch mal, das umzuformen, geht echt genauso wie bei der anderen Aufgabe...
LG
schachuzipus
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Und was ist dann mit dem [mm] n^2 [/mm] davor muss ich das dann trotzdem vor jedem ausdruck mitführen oder fällt das weg
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Jo hi,
das [mm] n^2 [/mm] lass mal stehen.
Erweitere mal mit o.g. Ausdruck und poste das Ergebnis mal.
Dann schauen wir weiter, wie wir das weiter verarzten.
Aber zuert mal ein Teilergebnis deinerseits...
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | [mm] \bruch{n^2(\wurzel{n^4+4}-n^2) n^2(\wurzel{n^4+4}+n^2)}{(\wurzel{n^4+4}-n^2)}
[/mm]
und dann
[mm] \bruch{n^2(\wurzel{n^4+4}-n^4)}{(\wurzel{n^4+4}+n^2)} [/mm] |
und ab hier komm ich nich weiter
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Hi,
puh, ganz langsam, also:
wir erweitern [mm] n^2\left(\sqrt{n^4+4}-n^2\right) [/mm] mit [mm] \frac{\sqrt{n^4+4}\red{+}n^2}{\sqrt{n^4+4}\red{+}n^2}
[/mm]
Das ergibt: [mm] \frac{n^2\left(\sqrt{n^4+4}-n^2\right) \left(\sqrt{n^4+4}+n^2\right)}{\sqrt{n^4+4}+n^2}
[/mm]
[mm] =\frac{n^2(n^4+4-n^4)}{\sqrt{n^4+4}+n^2} [/mm] [3.binom. Formel]
[mm] =\frac{4n^2}{\sqrt{n^4\left(1+\frac{4}{n^4}\right)}+n^2}
[/mm]
Nun weiter wie in der anderen Aufgabe...
LG
schachuzipus
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Hallo Nadine,
ein Tipp zu (b)
Kennst du die Summenformel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen?
Also [mm] \sum\limits_{k=1}^nk=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} [/mm] ?
Damit kannst du den Summenausdruck vereinfachen.
Beachte, dass aber bei jedem Summanden noch [mm] \frac{n}{2} [/mm] abgezogen werden.
Da wir n Summanden haben, wird also ......... abgezogen.
Hoffe, du kommst mit den Hinweisen weiter...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:20 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Bengel777 |
Sorry aber mit der Formel kann ich nix anfangen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mi 18.07.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Hallo
Was meinen Sie mit "Formel"?
Gruß
Reinhold
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Mi 18.07.2007 | | Autor: | hase-hh |
ein bengel ohne stengel... ok.
also wäre bei b)
[mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] * ( [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] - n* [mm] \bruch{n}{2} [/mm] )
oder nicht?
... ok dann hätte man ja wieder:
[mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] * ( [mm] \bruch{n^2+n -n^2}{2} [/mm] )
das ding sollte dann konvergieren, da der nenner schneller wächst, als der zähler...
lg
wolfgang
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Hi Wolfgang,
jo,
das ist ja [mm] \frac{1}{n+2}\cdot{}\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{n}{n+2}\to\frac{1}{2} [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
Soweit ist das klar, aber was machen, wenn man diese Summenformel nicht hat?
Hmmm. Haste da ne Idee? Mir fällt nix ein....
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mi 18.07.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo
die Aufgabe ist nicht sehr eindeutig geschrieben. Ich glaube, dass der Summand n/2 außerhalbder Summe steht. Dann wäre der Grenzwert auch -1/2 wie Bengel777 ganz oben auch behauptet.
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Mi 18.07.2007 | | Autor: | vagnerlove |
> also wäre bei b)
>
> [mm]\bruch{1}{n+2}[/mm] * ( [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] - n* [mm]\bruch{n}{2}[/mm] )
>
Woher kommt denn die Klammer und ein weiteres n vor dem n/2?
Gruß
Reinhold
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Hi Reinhold,
naja, das wäre der Ansatz, wenn man den Ausdruck hinter der Summe als in Klammern gesetzt ansieht,
Aber wenn als GW [mm] -\frac{1}{2} [/mm] rauskommen soll, ist die Sicht ohne Klammern - wie korbinian sagt - wohl die wahrscheinlichere (und richtigere..  )
Bleibt die Frage, wie man ohne Kenntnis der Summenformel darauf kommen soll...
Gruß
schachuzipus
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Meine Güte da hab ich ja ne Diskussion angeheizt...
Also die Formel is mir echt so ziemlich unbekannt das könnte auch mein durchfallen in der letzten Matehklausur erklären denke ich...
Aber ganz verstanden hab ich es trotzdem noch nich ganz...
Bin eben Matheblöd
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Hallo Nadine,
na, die Formel hast du mit Sicherheit schon mal gesehen - schau mal beim Thema "vollständige Induktion" nach in deinem Skript
Ich schreib das mal schön mit Klammern auf:
also [mm] \left(\frac{1}{n+2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^nk\right)-\frac{n}{2}
[/mm]
[mm] =\left(\frac{1}{n+2}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2}\right)-\frac{n}{2} [/mm] [nach der Summenfirmel]
[mm] =\frac{n(n+1)}{2(n+2)}-\frac{n}{2}=\frac{n(n+1)-n(n+2)}{2(n+2)}=\frac{n^2+n-n^2-2n}{2n+4}=\frac{-n}{2n+4}\to -\frac{1}{2} [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Do 19.07.2007 | | Autor: | Bengel777 |
Ich find das echt toll das du davon voll die Peilung hast und mir hilfst...
Bin dir übelst dankbar, ehrlich...
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