Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Leute
Ich soll den Grenzwert von zwei Folgen bestimmen. Wir haben aber noch nicht gezeigt, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) [/mm] = [mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}) [/mm] ist.
Aufgabe: Grenzwert berechnen: [mm] a_{n}=(1+\bruch{1}{2n})^{6n+2}
[/mm]
Ich habe den Term zu diesem Umgestellt:
[mm] a_{n}=((1+\bruch{1}{2n})^{2n})^{3}* (1+\bruch{1}{2n})^{2}.
[/mm]
Bildet man den Grenzwert, so kann man mit dem Teilfolgenprinzip zeigen, das er [mm] e^{3} [/mm] ist aber dies geht nur, wenn ich dieses [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_{n}) [/mm] = [mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}) [/mm] Gesetz hab. Wie kann ich es sonst zeigen?
Die andere Folge ist:
[mm] a_{n}=(1-\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
Nun kann man folgendes machen: n=-k und somit:
[mm] a_{k}=(\bruch{1}{(1+\bruch{1}{k})})^{k}
[/mm]
Aber nun berechnet sich der Grenzwert so:
[mm] \limes_{-k\rightarrow\infty}a_{n}
[/mm]
Was bedeutet nun dieses -k gegen [mm] \infty? [/mm] Die Lösung wäre einfach [mm] \bruch{1}{e}. [/mm] Müsste es nicht heißen [mm] \limes_{k\rightarrow-\infty}a_{n} [/mm] und dann habe ich das gleiche Problem wie am Anfang. Was ist zu tun?
Ich habe auch noch eine dritte Frage.
Wenn ich einen Konvergenzuntersuchung mit [mm] \varepsilon-n_{0} [/mm] Abschätzung mache, kann ich dann Vorraussetzten, dass [mm] 0<\varepsilon<1 [/mm] ist, oder ist das zuviel Einschränkung?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Fr 09.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du benutzen kannst, dass [mm] lim(1+1/n)^n=e [/mm] dann kannst du einfach das [mm] \epsilon [/mm] N Argument benutzen da es ein N gibt mit [mm] |(1+1/n)^n-e|<\epsolon [/mm] für alle n>N
kanst du das auf die anderen Fälle anwenden!
Oder du beweisest einfach den Satz, den du so vermisst. wobei dus ja nur für spezielle fkt tun musst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal
Also deine Antwort hat mich überhaupt nicht befriedigt. Vielleicht kann jemand mir sagen, ob ich es einfach anders probieren soll oder ob ich auf meinem Weg auch noch zu einer Lösung komme.
Danke
|
|
|
| |
|
> Hallo Leute
>
> Ich soll den Grenzwert von zwei Folgen bestimmen. Wir haben
> aber noch nicht gezeigt, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n})[/mm]
> = [mm]f(\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n})[/mm] ist.
>
> Aufgabe: Grenzwert berechnen:
> [mm]a_{n}=(1+\bruch{1}{2n})^{6n+2}[/mm]
> Ich habe den Term zu diesem Umgestellt:
> [mm]a_{n}=((1+\bruch{1}{2n})^{2n})^{3}* (1+\bruch{1}{2n})^{2}.[/mm]
>
> Bildet man den Grenzwert, so kann man mit dem
> Teilfolgenprinzip zeigen, das er [mm]e^{3}[/mm]
Hallo,
was meinst Du denn mit dem Teilfolgenprinzip?
ist aber dies geht
> nur, wenn ich dieses [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_{n})[/mm] =
> [mm]f(\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n})[/mm] Gesetz hab. Wie kann
> ich es sonst zeigen?
Wenn Du weiß, daß [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] gegen e konvergiert, nutze doch einfach den Satz übers Produkt konvergenter Folgen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[((1+\bruch{1}{2n})^{2n})^{3}\cdot{} (1+\bruch{1}{2n})^{2}]
[/mm]
[mm] =(\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{2n})^{2n})^3*(\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{2n}))^2.
[/mm]
>
> Die andere Folge ist:
> [mm]a_{n}=(1-\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
> Nun kann man folgendes machen: n=-k
Ich weiß nicht, was Du damit bezweckst.
> Ich habe auch noch eine dritte Frage.
> Wenn ich einen Konvergenzuntersuchung mit
> [mm]\varepsilon-n_{0}[/mm] Abschätzung mache, kann ich dann
> Vorraussetzten, dass [mm]0<\varepsilon<1[/mm] ist, oder ist das
> zuviel Einschränkung?
Nein, das ist keinerlei Einschränkung, und Du brauchst da in einer HÜ auch kein Gerede drum zu machen. Es geht beim [mm] \varepsilon [/mm] ja immer um sehr kleine "Abstände", und wenn die Aussage sogar für ein beliebig kleines beliebig kleines [mm] \varepsilon [/mm] gezeigt werden kann, gilt sie natürlich erst recht für große [mm] \varepsilon.
[/mm]
Wenn ich zeige, daß für [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 ab einem bestimmten N nicht weiter als [mm] \varepsilon=1/2 [/mm] vom vermuteten Grenzwert abweichen, weiche sie natürlich auch nicht mehr als 1 ab.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo
Nun ergeben wenigstens die zwei Grenzwerte der Folgen einen Sinn. Bei den dritten muss ich halt noch schauen, wie ich ihn angebe.
Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe!
|
|
|
|
