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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Do 13.12.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Berechne den Grenzwert von [mm] \frac{n}{log(a)}(\sqrt[n]{a}-1)
[/mm]
Anmerkung von mir: log meint den natürlichen Logarithmus. |
Hi,
und zwar soll ich den Grenzwert hiervon berechnen, wenn n gegen unendlich läuft. Ich weiß, dass der Grenzwert von [mm] n(\sqrt[n]{a}-1) [/mm] bei n gegen unendlcih gleich log(a) ist. Das will ich aber nicht verwenden, aus folgendem Grund:
Ich nutze die obige Aufgabe, um zu zeigen, dass der Grenzwert von dem Ausdruck [mm] n(\sqrt[n]{a}-1) [/mm] gleich log(a) ist. Wenn ich nun aber in die Aufgabe oben reinstecke, dass der angesprochene Grenzwert gleich log(a) ist, und damit zeige, dass die Aufgabe da oben gegen 1 geht, drehe ich mich ja im Kreis.
Nur leider komme icih dort nicht mehr weiter, ohne die Info zu nutzen...
Kennt jemand eine Alternativlösung, um an den Grenzwert 1 zu kommen?
Weil wenn ich nmir das so angucke, geht ja n gegen unendlich, und [mm] \sqrt[n]{a}-1 [/mm] gegen Null....das hilft mir da leider auch nicht weiter....
Danke für eure Hilfe.
LG
Kroni
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Hallo Kroni,
Vllt. ist de l'Hospital eine gute Möglichkeit:
Schreibe dazu [mm] $\frac{n}{\ln(a)}\cdot{}(\sqrt[n]{a}-1)$ [/mm] um in
[mm] $\frac{n}{\ln(a)}\cdot{}(\sqrt[n]{a}-1)=\frac{\sqrt[n]{a}-1}{\ln(a)\cdot{}\frac{1}{n}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}-1}{\ln(a)\cdot{}\frac{1}{n}}$
[/mm]
Dann hast du den Fall [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] beim Grenzübergang
Und du kannst [mm] $a^{\frac{1}{n}}$ [/mm] ja schreiben als [mm] $e^{(....)}$
[/mm]
Vllt. klappt das... 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Do 13.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, daran habe ich auch gedacht, nur hatten wir das noch nicht in der Vorlesung...dürfen es also wohl nicht verwenden!
Gibts sonst noch eine Idee, da irgendwie anders ranzugehen?! Wenn ich das verwenden könnte, dass das ganze gegen log(a) geht, und sich das dann mit dem 1/log(a) kürzt, wärs ja okay, aber da ich die Aufgabe dort verwenden soll, um das zu zeigen, dass das gegen log(a) geht, kann ichs nicht verwenden...
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Do 13.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
Idee: wenn du zeigen kannst, dass
[mm] \lim_{x\rightarrow0} \bruch{\mathrm{e}^x-1}{x} = 1[/mm],
dann kannst du mit [mm]x=\bruch{\ln a}{n}[/mm] die Behauptung zeigen.
Zum Beweis des ersten Grenzwertes könntest du den Mittelwertsatz auf exp(x) anwenden.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Do 13.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
den Mittelwertsatz hatten wir auch noch nicht....
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Do 13.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
> den Mittelwertsatz hatten wir auch noch nicht....
Hmm, wie wäre es so: es ist doch für kleine x
[mm]1+x \le \mathrm{e}^x \le 1+x+x^2 [/mm]
(Beweis durch Hinmalen des Graphen )
Die Behauptung ist sicher wahr für x=0. Außerdem ist [mm]\mathrm{e}^x-1-x[/mm] konvex und hat ein Minimum bei x=0. [mm]\mathrm{e}^x-1-x-x^2[/mm] ist konkav für [mm]x<1/2[/mm] und hat ein Maximum bei x=0.
Daraus folgt
[mm] 1\le \bruch{\mathrm{e}^x-1}{x} \le 1+x [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 16.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
habs nun anders gemacht:
$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\frac{1}{n}log(a))^{k-1}}{k!}$
habe ich nun "eingequetscht":
Die obige Summe ist sicher größer als 1, da das erste Glied gleich 1 ist und die darauffolgenden größer als 1.
Dann habe ich bei der Summe einen Indexshift gemacht, so dass dann dort das steht:
$sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{n}log(a))^{k}}{k!*(k+1)}$
Davon weiß ich, dass es kleiner ist als sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{n}log(a))^{k}}{k!}$, da ich in jedem Nenner das (k-1) weggelassen habe. Nun, das ist aber wiederum die exp-Reihe, so dass dann da letzendlich steht:
$Reihenwert=e^{1/n*log(a))=a^(1/n)=\sqrt[n]{a}$
Das geht, wenn n gegen \infty geht, gegen 1. Also habe ich den ursprünglichen Grenzwert eingeqeutscht, und ihm bleibt nichts anderes übrig, als auch gegen 1 zu gehen.
Kann ich das so machen?
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 So 16.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
Das sieht gut aus. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Allerdings muss ich doch nochmal advocatus diaboli spielen: könnt ihr denn die Exponentialreihe benutzen?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 So 16.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die hatten wir in der Vorlesung, und es steht nirgends, dass wir es nicht drüfen. Von daher gehe ich davon aus, dass wir [mm] $exp(x)=\sum_{k=0}^\infty x^k/k! [/mm] nutzen dürfen.
LG
Kroni =)
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