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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 So 27.01.2008 | | Autor: | Domestic |
| Aufgabe | | [mm] (x^2+x-2)/(x^4-2x^2-8) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Diese Funktion soll lt. Lösung für [mm] x\to-2 [/mm] gegen 1/8 gehen.
Allerdings komme ich bei Ausklammerung von x
[mm] x(x+1-2/x)/x(x^3-x-8/x)
[/mm]
auf
-2+1+1/-8+4+1/2
Wo ist mein Fehler?
Vielen Dank im Voraus.
Lg Domestic
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 So 27.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Domestic,
für diesen Grenzwert liefert der Bruch einen unbestimmten Ausdruck der Form 0/0. Hier hilft Dir die Regel von L'Hospital weiter. Zähler und Nenner des Bruchs nach x ableiten und wieder testen. Kommt wieder 0/0 raus, das Ganze nochmal machen.
Viele Grüße,
Infinit
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Wie Infinit schon geschrieben hat brauchst du für diese Aufgabe die Regel von L'Hospital. Die geht folgendermaßen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\(-2} \bruch{x^2+x-2}{x^4-2x^2-8}
[/mm]
Jetzt mal testen, wenn du $ -2 $ für x einsetzt, ob ein bestimmt oder unbestimmter Ausdruck dabei rauskommt. Wenn ein unbestimmt Ausdruck dabei rauskommt musst du folgendes machen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\(-2} \bruch{f'(x)}{f'(x)}
[/mm]
Jetzt wieder testen.
Du musst die ganze Geschichte so oft machen, bis du irgendwann einen bestimmten Ausdruck herausbekommst.
MfG Michael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 27.01.2008 | | Autor: | Domestic |
Jetzt mal ne allgemeine Frage. Zum gleichen Bruch
[mm] (x^2+x-2)/(x^4-2x^2-8)
[/mm]
möchte ihh jetzt [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] ausrechnen. Es soll 0 rauskommen.
Zuerst habe ich [mm] x^2 [/mm] ausgeklammert:
[mm] x^2(1+1/x-2/x^2)/x^2(x^2-2-8/x^2)
[/mm]
Wenn ich hier [mm] \infty [/mm] einsetze komme ich auf:
[mm] 1+0-0/\infty-2-0
[/mm]
also nicht auf 0.
Wenn ich jetzt allerdings [mm] x^4 [/mm] ausklammere:
[mm] x^4(1/x^2+1/x^3-2/x^4)/x^4(1-2/x^2-8/x^4)
[/mm]
dann habe ich nach Einsetzen 0+0-0/1-0-0, was zum richtogen Ergebnis 0 führt.
Meine Frage ist jetzt:
Woran sehe ich wieviel x ich ausklammern muss um aufs richtige Ergebnis zu kommen?
Lg Domestic
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 So 27.01.2008 | | Autor: | Kroni |
> Jetzt mal ne allgemeine Frage. Zum gleichen Bruch
>
> [mm](x^2+x-2)/(x^4-2x^2-8)[/mm]
>
> möchte ihh jetzt [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] ausrechnen. Es
> soll 0 rauskommen.
>
> Zuerst habe ich [mm]x^2[/mm] ausgeklammert:
>
> [mm]x^2(1+1/x-2/x^2)/x^2(x^2-2-8/x^2)[/mm]
>
> Wenn ich hier [mm]\infty[/mm] einsetze komme ich auf:
>
> [mm]1+0-0/\infty-2-0[/mm]
>
> also nicht auf 0.
Hi,
du hast aber im Wesentlichen eine Form, die so ausschaut: [mm] \frac{1}{\infty}, [/mm] was gerade 0 entspricht. durch etwas sehr großes zu teilen bedeutet ja, dass das Ergebnis letztendlich sehr klein wird.
D.h. du siehst auch hier schon, dass der Grenzwert für [mm] x\rightarrow \infty [/mm] =0
>
> Wenn ich jetzt allerdings [mm]x^4[/mm] ausklammere:
>
> [mm]x^4(1/x^2+1/x^3-2/x^4)/x^4(1-2/x^2-8/x^4)[/mm]
>
> dann habe ich nach Einsetzen 0+0-0/1-0-0, was zum richtogen
> Ergebnis 0 führt.
Ja. Hier siehst du dann direkt, dass 0/1=0. Da brauchst du nicht mehr darüber nachdenken, was [mm] 1/\infty [/mm] ist.
>
> Meine Frage ist jetzt:
>
> Woran sehe ich wieviel x ich ausklammern muss um aufs
> richtige Ergebnis zu kommen?
Das ist normalerweise egal. Wie du auch oben siehst, führt da kürzen durch [mm] x^2 [/mm] auch aufs richtige Ergebnis. Aber generell immer durch das x mit größter Potenz zu kürzen ist i.d.R nie verkehrt.
LG
Kroni
>
> Lg Domestic
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 So 27.01.2008 | | Autor: | Domestic |
limes x gegen a von: [mm] x^2-25/2(x+5) [/mm] a=-5 </task>
Da das erste Einsetzen von a 0/0 ergibt, habe ich die erste Ableitung gebildet, so wie ihrs mir ja supernett erklärt habt.
f´/x)= [mm] (2x(2x+10)-(x^2-25)*2)/(2x+10)^2
[/mm]
= [mm] 2x^2+20x-50/4x^2+40x+100
[/mm]
nach Ausklammern des x mit höchster Potenz ergibt sich:
[mm] (x^2(4+20/x-2/x^2-50))/(x^2(4+40/x+100/x^2))
[/mm]
Nach erneutem Einsetzen kommt (4-4-2+10)/(4-8+20) heraus, also 0.
Allerdings soll -5 rauskommen. Wo hat sich der Fehler eingeschlichen?
Lg Domestic
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 So 27.01.2008 | | Autor: | bamm |
Ich schreib nur mal kurz die Funktion nochmal auf, dann siehst du auch wie das mit dem TeX Code funktioniert ;):
[mm]\limes_{x \to -5} \bruch{x^2-25}{2(x+5)}[/mm]
Und zwar du hast den Fehler gemacht die ganze Funktion abzuleiten. Bei der L'Hospitalschen Regel musst du Zähler und Nenner getrennt ableiten, also
[mm]\limes_{x \to -5} \bruch{2x}{2}[/mm]
Wenn du hier jetzt -5 einsetzt (da ja kein 0/0 oder [mm]\bruch {\infty}{\infty}[/mm] mehr vorliegt), kommt das richtige Ergebnis raus.
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