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Grenzwert: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Di 29.04.2008
Autor: Morgenroth

Aufgabe
a(n) (n Element N) = (1+2²+...+n²)/n³ mit Grenzwert a.
Gebe für [mm] \varepsilon [/mm] = 1/1000 ein n(0) an, sodass für alle n>= n(0) gilt:
[mm] |a(n)-a|<\varepsilon. [/mm]

1. Grenzwert berechnen:
a(n) = (n(n+1)(2n+1))/6 / n³ = ... = (2 + 3/n + 1/n²) / 6
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] a(n) = 1/3

2. n(0) bestimmen:
|(2 + 3/n + 1/n²)/6 - 1/3| < 1/1000
|(3n+1)/n²| < 3/500
Ist das bis dahin korrket?

Ich hätte dann mögl. eine pq-Formel zu lösen, oder?

|-3/500 n² + 3n + 1| < 0

Gruß,
Max ;-)

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:24 Di 29.04.2008
Autor: Zneques

Hallo,

Das sieht alles schon recht ordentlich aus.
Nur am Ergebnis gibts noch etwas zu meckern.

> |-3/500 n² + 3n + 1| < 0

Betrag von Irgendetwas ist kleiner als 0 ?
Das dürfte schwer werden. Demnach findest du kein [mm] n_0 \Rightarrow [/mm] Ungut !

Richtiger wäre dann doch :
[mm] -\frac{3}{500}n^2+|3n+1|<0 [/mm]

Warum ? Was macht man mit dem Betrag ?
Und : Ab welchem n gilt dies ?

Ciao.

Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:20 Mi 30.04.2008
Autor: Morgenroth

Alles klar, danke.

$ [mm] -\frac{3}{500}n^2+|3n+1|<0 [/mm] $

Da n ja eh Element N ist, kann man aber da doch sicher die Betragsstriche weglassen, oder?

Dann hätte ich durch (-3/500) geteilt:
n² - 500n - 500/3 <0

Das sieht dann nach pq-Formel aus, oder kann man diese für Ungleichungen nicht benutzen?

n1,2 < 250 +/- [mm] \wurzel{250² - 500/3} [/mm]
n1,2 < 250 +/- 250,3331114...

Dann  hätte ich:
n1 < 500,3331114...
n2 < -0,333111407

n2 könnte ich dann ausschließen, da n ja nicht negativ sein kann.
Aber was sagt mir das Ergebnis bei n1 jetzt genau?
Dass n0 500 beträgt? Oder ist das <-Zeichen falschrum und es muss > heißen, weil ich ja einmal beide Seiten durch (-1) geteilt habe.
Dann würde das schon mehr Sinn machen, und n0 wäre 501?


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Mi 30.04.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Morgenroth,

> Alles klar, danke.
>  
> [mm]-\frac{3}{500}n^2+|3n+1|<0[/mm]
>  
> Da n ja eh Element N ist, kann man aber da doch sicher die
> Betragsstriche weglassen, oder? [ok]
>  
> Dann hätte ich durch (-3/500) geteilt:
>  n² - 500n - 500/3 <0 [notok]

Wenn du eine Unngleichung mit was Negativem multiplizierst bzw. durch was Negatives dividierst, dreht sich das Ungleichheitszeichen um!!

Du bekommst also: [mm] $n^2-500n-\frac{500}{3} [/mm] \ [mm] \blue{>} [/mm] \ 0$

>  
> Das sieht dann nach pq-Formel aus, oder kann man diese für
> Ungleichungen nicht benutzen?
>  
> n1,2 < 250 +/- [mm]\wurzel{250² - 500/3}[/mm]
>  n1,2 < 250 +/-
> 250,3331114...
>  
> Dann  hätte ich:
>  n1 < 500,3331114...
>  n2 < -0,333111407
>  
> n2 könnte ich dann ausschließen, da n ja nicht negativ sein
> kann. [ok]
>  Aber was sagt mir das Ergebnis bei n1 jetzt genau?
>  Dass n0 500 beträgt? Oder ist das <-Zeichen falschrum und
> es muss > heißen, weil ich ja einmal beide Seiten durch
> (-1) geteilt habe. [ok]

ganz genau

$-4<-2$, aber dann $4>2$

>  Dann würde das schon mehr Sinn machen, und n0 wäre 501? [ok]

Jo, das würde ich auch meinen ;-)

>  


Gruß

schachuzipus

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