Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mi 21.05.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo ich habe ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
berechnen Sie den Grenzwert von [mm] (-1)^{n}\*\bruch{n+1}{n-1} [/mm] Ich würde nun zunächst den Grenzwert von [mm] (-1)^{n} [/mm] berechnen. Dieser springt für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] immer zwischen -1 und 1 hin und her. Dann würde ich den Grenzwert von [mm] \bruch{n+1}{n-1} [/mm] berechnen. dieser wäre ja für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1. Also würde ich sagen, dass diese Folge keinen Grenzwert hat.
Mit freundlichen Grüßen mempys
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mempys!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 21.05.2008 | | Autor: | mempys |
gut das ging ja schnell.
Allerdings habe ich noch ein kleines Problem.
Ich habe nun die Folge [mm] \wurzel{n}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})
[/mm]
Lösungsansatz: Wenn ich das ganze ausmultipliziere, dann habe ich ein Problem mit [mm] \wurzel{n}\*\wurzel{n+1}, [/mm] ich weiß nicht so recht wie ich das multiplizieren soll. Für [mm] \wurzel{n}\*(-\wurzel{n}) [/mm] ist das ja kein Problem, dass ist ja einfach -n. Aber wie mache ich das jetzt mit [mm] \wurzel{n}\*\wurzel{n+1}???
[/mm]
mit freundlichen Grüßen mempys
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Hallo mempys,
> gut das ging ja schnell.
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> Allerdings habe ich noch ein kleines Problem.
>
> Ich habe nun die Folge [mm]\wurzel{n}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})[/mm]
>
> Lösungsansatz: Wenn ich das ganze ausmultipliziere,
Das ist kein glücklicher Ansatz 
> dann
> habe ich ein Problem mit [mm]\wurzel{n}\*\wurzel{n+1},[/mm] ich weiß
> nicht so recht wie ich das multiplizieren soll. Für
> [mm]\wurzel{n}\*(-\wurzel{n})[/mm] ist das ja kein Problem, dass ist
> ja einfach -n. Aber wie mache ich das jetzt mit
> [mm]\wurzel{n}\*\wurzel{n+1}???[/mm]
>
> mit freundlichen Grüßen mempys
Bei solchen Summen von Wurzeln ist es meistens sehr hilfreich, so zu erweitern, dass du die 3.binomische Formel hinbasteln kannst, hier:
Erweitere [mm] $\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ [/mm] mit [mm] $\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+1}\blue{+}\sqrt{n})$
[/mm]
Dann bekommst du [mm] $\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot{}\blue{\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}{\blue{\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{n(n+1-n)}{\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{n}{\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$
[/mm]
Nun klammere im Nenner in der Klammer [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] aus, dann kannst du insgesamt das $n$ im Zähler mit [mm] $\sqrt{n}\cdot{}\sqrt{n}=n$ [/mm] im Nenner kürzen und den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] machen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mi 21.05.2008 | | Autor: | mempys |
Gut. Also mein Problem ist jetzt der Nenner von [mm] \bruch{n}{\wurzel{n}\*(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}
[/mm]
du sagst ich soll nun [mm] \wurzel{n} [/mm] aus der Klammer ausklammern. Dann würde im Nenner doch stehen [mm] \bruch{n}{\wurzel{n}\*\wurzel{n}(\wurzel{n+1}+1)}
[/mm]
Mein Probelm ist, dass ich nicht weiß, wie ich [mm] \wurzel{n+1} [/mm] in der Klammer ersetzen soll, sobald ich [mm] \wurzel{n} [/mm] ausklammer.
mfg mempys
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Hallo, zunächst mal ausklammern Faktor 2:
[mm] (8+20)=2(\bruch{8}{2}+\bruch{20}{2})=2(4+10)
[/mm]
betrachten wir zunächst nur den Term
[mm] (\wurzel{n+1}+\wurzel{n}) [/mm] steht im Nenner in der Klammer
du hast nicht korrekt ausgeklammert
[mm] =\wurzel{n}(\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}+\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}})
[/mm]
[mm] =\wurzel{n}(\wurzel{\bruch{n+1}{n}}+1)
[/mm]
[mm] =\wurzel{n}(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)
[/mm]
jetzt betrachte mal den gesamten Ausdruck,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mi 21.05.2008 | | Autor: | mempys |
Alles klar.
Wir hätten ja dann eigentlich die Form [mm] \bruch{1}{\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}+1} [/mm] und wenn wir [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] laufen lassen, dann hätten wir doch den Grenzwert 0 oder???
mfg mempys
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Hallo nochmal,
> Alles klar.
>
> Wir hätten ja dann eigentlich die Form
> [mm]\bruch{1}{\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}+1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und wenn wir
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] laufen lassen, dann hätten wir
> doch den Grenzwert 0 oder??? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Oh wei, wie kommst du darauf?
Schreiben wir den Ausdruck noch ein klein wenig weiter um:
[mm] $\frac{1}{\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}+1}=\frac{1}{\sqrt{\frac{n+1}{n}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$
[/mm]
Nun siehst du aber, wogegen das Biest für [mm] $n\to\infty$ [/mm] strebt ...
LG
schachuzipus
> mfg mempys
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 21.05.2008 | | Autor: | mempys |
alles klar. Das wäre ja dann [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mempys!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mi 21.05.2008 | | Autor: | mempys |
Ich habe noch eine letzte Aufgabe für heute die mich beschäftigt. Immer noch soll der Grenzwert berechnet werden.
Aufgabe: [mm] \bruch{1}{n} [/mm] sin n
Würde hier wieder zunächst den Grenzwert von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] berechnen.Dieser springt für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] immer zwischen -1 und 1 hin und her.Dann würde ich den Grenzwert von [mm] \sin [/mm] n berechnen. dieser wäre ja für $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ ebenfalls zwischen -1 und 1. Also würde ich sagen, dass diese Folge keinen Grenzwert hat?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mempys!
Denke nochmal über [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}$ [/mm] nach. Da "pendelt" nichts zwischen -1 und +1 .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 21.05.2008 | | Autor: | mempys |
oh schlimmer denkfehler... [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] konvergiert gegen 0!
Und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] \ sin n springt aber zwischen -1 und 1.Daher ist die Folge meiner Meinung nach nicht konvergent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Mi 21.05.2008 | | Autor: | mempys |
Alles klar,danke für die schnelle Hilfe!
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