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Grenzwert: Übungsaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Mi 10.09.2008
Autor: Adamantin

Berechne den Grenzwert für folgende Funktionen

1. [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}{\bruch{4x^2-1}{3x^3+2}}[/mm]

2. [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}{\bruch{3x^2+2x}{-x+2}}[/mm]

3. [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}{\bruch{-4x^3+2}{2x+1}}[/mm]

4. [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}{\bruch{6x^3+2x+1}{-5x^3+2x+4}}[/mm]

Äußere dich anschließend zur Art des Grenzwertes ("uneigentlicher Grenzwert"?) und gib eine allgemeine Regel/Vorgehensweise für die Aufgabentypen an.

        
Bezug
Grenzwert: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Fr 19.09.2008
Autor: Schachschorsch56

[mm] 1.\limes_{x\rightarrow\infty}(4x^2-1)/3x^3+2) [/mm]

Im Nenner ist der Exponent von x um 1 höher. Für große x-Werte kann man die Ziffern -1 im Zähler und +2 im Nenner außer Acht lassen. Ebenso kann man mit den Faktoren von x, 4 im Zähler und 3 im Nenner, verfahren. Dann kann man Zähler und Nenner um [mm] x^2 [/mm] kürzen und erhält: 1/x

Für x gegen unendlich nähert sich der Wert gegen 0. Also ist 0 der Grenzwert.

[mm] 2.\limes_{x\rightarrow\infty}(3x^2+2x)/(-x+2) [/mm]

Hier ist der Exponent von x im Zähler größer, dafür steht im Nenner vor dem x ein Minuszeichen. Zähler und Nenner durch x kürzen ergibt:

(3x+2)/(-1+(2/x))
Der Summand 2 im Zähler sowie der Summand 2/x (geht für große x-Beträge gegen 0)im Nenner können weggelassen werden. Ebenso der Faktor 3 von x  im Zähler. Es bleibt stehen: -x. Für x gegen unendlich ist der Grenzwert somit: [mm] -\infty [/mm]

[mm] 3.\limes_{x\rightarrow\infty}(-4x^3+2)/(2x+1) [/mm]

Der Exponent von x ist im Zähler um 2 höher. Durch Kürzen mit x und Außer Achtlassen der Summanden 2, 2/x und 1/x, sowie der Faktoren von x (4 und 2) bleibt [mm] -x^2 [/mm] übrig.

Für x gegen unendlich wird der Grenzwert: - [mm] \infty [/mm]

[mm] 4.\limes_{x\rightarrow\infty}(6x^3+2x+1)/(-5x^3+2x+4) [/mm]

Die höchsten Exponenten von x sind im Zähler und Nenner gleich ! Nach Kürzen durch [mm] x^3 [/mm] und Weglassen der gegen 0 strebenden Summanden bleibt übrig: -6/5. Der Grenzwert für x gegen unendlich liegt also bei -6/5.

Bei allen Aufgaben konnte man die Lösung durch Beachten der größten Exponenten von x, durch Kürzen und Weglassen von gegen 0 gehenden Summanden sowie von unbedeutenden Faktoren erreichen.

In Aufgabe 1 bis 3 gibt es unendliche (=uneigentliche) Grenzwerte, in Aufgabe 4 einen endlichen (=eigentlichen) Grenzwert. (Besser kann ich das nicht erklären.)

Schachschorsch




Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Fr 19.09.2008
Autor: Adamantin

Also nun kannst du sicher sein, nur ich kann deine Antwort bisher lesen :) Das erkennst du daran, dass oben bei Leserechte alle Namen außer den unseren rot sind.

Noch ein Tipp: Für Brüche solltest du die Formel #bruch{x}{y} benutzen, wobei # durch ein \ ersetzt werdeb muss, das gilt für fast alle Formeln. so sind griechische Buchstaben #name oder #wurzel() usw. Einfach mal ausprobieren oder unten auf das Symbol klicken. Ich wandel mal für mich deine Formeln eben um, ok?

> [mm]1.\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{4x^2-1}{3x^3+2}[/mm]
>  
> Im Nenner ist der Exponent von x um 1 höher. Für große
> x-Werte kann man die Ziffern -1 im Zähler und +2 im Nenner
> außer Acht lassen. Ebenso kann man mit den Faktoren von x,
> 4 im Zähler und 3 im Nenner, verfahren. Dann kann man
> Zähler und Nenner um [mm]x^2[/mm] kürzen und erhält: 1/x
>  
> Für x gegen unendlich nähert sich der Wert gegen 0. Also
> ist 0 der Grenzwert.

[ok] schön erklärt ^^

>  
> [mm]2.\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{3x^2+2x}{-x+2}[/mm]
>  
> Hier ist der Exponent von x im Zähler größer, dafür steht
> im Nenner vor dem x ein Minuszeichen. Zähler und Nenner
> durch x kürzen ergibt:
>  
> (3x+2)/(-1+(2/x))
>  Der Summand 2 im Zähler sowie der Summand 2/x (geht für
> große x-Beträge gegen 0)im Nenner können weggelassen
> werden. Ebenso der Faktor 3 von x  im Zähler. Es bleibt
> stehen: -x. Für x gegen unendlich ist der Grenzwert somit:
> [mm]-\infty[/mm]

[ok] Sehe hier ein Fehler in meinem Lösungsbruch *g* da steht [mm] +\infty [/mm] aber du hast Recht, sagt auch der Taschenrechner, manno, dabei sollten 4 verschiedene Fälle rauskommen, naja ich werde das noch ändern müssen

>  
> [mm]3.\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-4x^3+2}{2x+1}[/mm]
>  
> Der Exponent von x ist im Zähler um 2 höher. Durch Kürzen
> mit x und Außer Achtlassen der Summanden 2, 2/x und 1/x,
> sowie der Faktoren von x (4 und 2) bleibt [mm]-x^2[/mm] übrig.
>  
> Für x gegen unendlich wird der Grenzwert: - [mm]\infty[/mm]

[ok] selbe Fall wie 2 ^^

>  
> [mm]4.\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{6x^3+2x+1}{-5x^3+2x+4}[/mm]
>  
> Die höchsten Exponenten von x sind im Zähler und Nenner
> gleich ! Nach Kürzen durch [mm]x^3[/mm] und Weglassen der gegen 0
> strebenden Summanden bleibt übrig: -6/5. Der Grenzwert für
> x gegen unendlich liegt also bei -6/5.

[ok] sehr schön

>  
> Bei allen Aufgaben konnte man die Lösung durch Beachten der
> größten Exponenten von x, durch Kürzen und Weglassen von
> gegen 0 gehenden Summanden sowie von unbedeutenden Faktoren
> erreichen.

[ok] Wichtig war mir vor allem das Erkennen des höchsten Exponenten und die Auswirkung davon. Wenn der Zähler größer ist, ist es immer [mm] \infty [/mm] (das Vorzeichen muss dann aber noch ermittelt werden!), bei Zähler und Nenner gleich haben wir eine Zahl k und bei Nenner größer Zähler folgt ein Grenzwert von 0. Das ist später für Asymptoten wichtig

>  
> In Aufgabe 1 bis 3 gibt es unendliche (=uneigentliche)
> Grenzwerte, in Aufgabe 4 einen endlichen (=eigentlichen)
> Grenzwert. (Besser kann ich das nicht erklären.)
>  
> Schachschorsch

Fast richtig, bist auf die 1! 0 Ist ein echter Grenzwert! Ein Grenzwert ist ja nur eine eindeutige Zahl, der sich die Funktion für x gegen [mm] \infty [/mm] nähert und das ist bei 0 eindeutig gegeben. Anders dagegen bei 2 und 3, denn hier nähert sich die Funktion keiner Zahl also auch keinem Grenzwert. Also spricht man von einem uneigentlichen Grenzwert. Wertvoll ist diese Information dennoch gerade für eine Skizze oder Zeichnung des Graphen, denn mit dieser Information kann man sofort die "Enden" des Graphen einzeichnen, also man weiß, ob die Funktion eben nach unten, oben oder gegen eine Zahl verläuft. (Stichwort Asymptoten)
  


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