Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 21.10.2008 | | Autor: | fndrx |
hi miteinander :)
Um einen Grenzwert nachzuweisen , gibt es ja verschiedene Möglichkeiten. Eine davon ist folgende :
wenn [mm] |a_n [/mm] - g| < [mm] \varepsilon, [/mm] dabei sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegebn.
nun wenn man zb folgendes hat :
[mm] a_n [/mm] = 1/n , vermutet grenzwert = 0
| 1/n | < [mm] \varepsilon
[/mm]
1/ [mm] \varepsilon [/mm] < n , dabei ist das n , [mm] n_0 [/mm] fähig , soll heissen jedes n liegt innerhalb [mm] \varepsilon [/mm] , so versteh ich das zumindest. Nun wann ist dann ein n NICHT [mm] n_0 [/mm] fähig ? Diese Bezeichnung stammt von unserem Lehrer übrigens :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hi, fndrx,
> Um einen Grenzwert nachzuweisen , gibt es ja verschiedene
> Möglichkeiten. Eine davon ist folgende :
> wenn [mm]|a_n[/mm] - g| < [mm]\varepsilon,[/mm] dabei sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig vorgegebn.
>
> nun wenn man zb folgendes hat :
> [mm]a_n[/mm] = 1/n , vermutet grenzwert = 0
>
> | 1/n | < [mm]\varepsilon[/mm]
> 1/ [mm]\varepsilon[/mm] < n , dabei ist das n , [mm]n_0[/mm] fähig ,
> soll heissen jedes n liegt innerhalb [mm]\varepsilon[/mm] , so versteh
> ich das zumindest. Nun wann ist dann ein n NICHT [mm]n_0[/mm] fähig ?
> Diese Bezeichnung stammt von unserem Lehrer übrigens :)
Das Wort "fähig" hab' ich in dem Zusammenhang nie gehört!
Dein Ergebnis 1/ [mm]\varepsilon[/mm] < n würd' ich übrigens lieber so schreiben:
n > [mm] \bruch{1}{\epsilon}.
[/mm]
Dies bedeutet, dass für n größer als [mm] \bruch{1}{\epsilon} [/mm] alle Glieder der Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] innerhalb der Epsilon-Umgebung von a=0 liegen.
Z.B. für [mm] \epsilon [/mm] = 0,1 ergibt sich n>10; d.h. dass alle Folgenglieder ab dem 11. von a=0 weniger als 0,1 entfernt sind
oder für [mm] \epsilon [/mm] = 0,001 hast Du n>1000 und somit sind alle Folgenglieder ab dem 1001. weniger als 0,001 vom Grenzwert a=0 entfernt.
Also: Egal wie klein Du Dein [mm] \epsilon [/mm] auch immer wählst: Du findest immer ein [mm] n_{o} [/mm] so, dass alle Folgenglieder ab [mm] n_{o}+1 [/mm] weniger als [mm] \epsilon [/mm] vom (zunächst ja nur vermuteten!) Grenzwert a=0 entfernt liegen.
Hast Du's jetzt gecheckt?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Di 21.10.2008 | | Autor: | fndrx |
Super erklärt ! :)
Also müsste es bei Folgen ohne Grenzwert : [mm] a_n [/mm] = [mm] n^2
[/mm]
Das ganze nicht funktionieren , dh. es wird sich keine E Umgebung finden ?
Test :
[mm] |n^2 [/mm] - g| < E sei E > 0 vermuteter g = 4 ( rein geraten)
[mm] |n^2-4| [/mm] < E
n < sqrt(E+4)
D.h. egal welche Umgebung man wählt , sie ist immer größer als n , also wird n aucht nicht darin liegen , aber irgendwie wenn n < E ist , dann liegt n doch in der Umgebung ? ^^ Verwirrend :D
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Hi, fndrx,
> Also müsste es bei Folgen ohne Grenzwert : [mm]a_n[/mm] = [mm]n^2[/mm]
> das ganze nicht funktionieren , dh. es wird sich keine E
> Umgebung finden ?
Umgekehrt: Du wirst zur VORGEGEBENEN [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] kein [mm] n_{o} [/mm] finden, sodass für n > [mm] n_{o} [/mm] alle Folgenglieder vom vermuteten Grenzwert weniger als [mm] \epsilon [/mm] entfernt sind!
> Test :
>
> [mm]|n^2[/mm] - g| < E sei E > 0 vermuteter g = 4 ( rein
> geraten)
>
> [mm]|n^2-4|[/mm] < E
>
> n < sqrt(E+4)
Das geht mir ein bisschen zu schnell!
Zum Auflösen der Betragstriche musst Du hier eine Fallunterscheidung machen und zwar (da n eine natürliche Zahl ist):
1. Fall: 0 < n < 2 (führt zu einem Widerspruch!)
und
2. Fall: n [mm] \ge [/mm] 2
Dann erst gilt: [mm] n^{2} [/mm] < [mm] \epsilon+4 [/mm] und somit (wie Du geschrieben hast):
n < [mm] \wurzel{\epsilon + 4} [/mm] (eigentlich ja sogar: [mm] -\wurzel{\epsilon + 4} [/mm] < n < [mm] \wurzel{\epsilon + 4}, [/mm] aber das ist wegen n [mm] \in \IN [/mm] unwichtig!).
Zusammen mit der Bedingung n [mm] \ge [/mm] 2 führt dies zum Widerspruch!
Ergebnis: Zumindest ist a=4 nicht der Grenzwert obiger Folge!
> D.h. egal welche Umgebung man wählt , sie ist immer größer
> als n , also wird n aucht nicht darin liegen , aber
> irgendwie wenn n < E ist , dann liegt n doch in der
> Umgebung ? ^^ Verwirrend :D
So wie Du's schreibst, stimmt's auch nicht!
1. Fehler: Eine Umgebung kann nicht "größer als n" sein.
Eine Umgebung ist ein Intervall, und zwar mit dem (vermuteten) Wert a als Mittelpunkt und der Breite [mm] 2*\epsilon: [/mm]
U = [mm] ]a-\epsilon; a+\epsilon[.
[/mm]
2. Fehler: n kann da gar nicht "drin liegen", weil n bloß die ZÄHLNUMMER der Folgenglieder ist.
"Drin liegen" (im oben beschriebenen Intervall) sollen aber die Folgenglieder selbst.
Ich geb' Dir mal ein Zahlenbeispiel - ich nehm dazu mal die Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Die sieht so aus:
n=1: 1.Folgenglied [mm] a_{1} [/mm] = 1
n=2: 2.Folgenglied [mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
n=3: 3.Folgenglied [mm] a_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
n=4: 4.Folgenglied [mm] a_{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
usw.
Offensichtlich werden die Folgenglieder immer kleiner; der Grenzwert wird (vermutlich) a=0 sein.
Nun geb' ich mal ein [mm] \epsilon [/mm] vor, nämlich: [mm] \epsilon [/mm] = 0,01.
Dann hast Du automatisch das Intervall ] -0,01 ; +0,01 [.
Jetzt kannst Du durch Probieren (Taschenrechner!) rausfinden, welche Folgenglieder
a) da nicht drin liegen
b) drin liegen.
a) [mm] a_{1} [/mm] = 1, [mm] a_{2} [/mm] = 0,25, ... [mm] a_{10} [/mm] = [mm] \bruch{1}{100} [/mm] = 0,01 liegen alle nicht im gewünschten Intervall (bei [mm] a_{10} [/mm] ist's aber schon knapp: Es liegt auf dem Rand, aber der gehört ja nicht dazu!)
b) [mm] a_{11} [/mm] = [mm] \bruch{1}{121} \approx [/mm] 0,0083 liegt drin und alle folgenden Glieder auch, denn die sind ja noch kleiner!
Demnach liegen alle Folgenglieder ab dem 11. (n=11) in der 0,01-Umgebung um den Grenzwert a=0.
Jetzt kapiert?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Di 21.10.2008 | | Autor: | fndrx |
Ja sehr schön , danke :)))
Eine letztze Frage :
man hat die Folge [mm] n^2 [/mm] wieder ^^
Kann man bei der Untersuchung nach der Beschränktheit es einfach so machen : es sei eine obere Schranke K vorhanden , dann gilt :
[mm] n^2 [/mm] <= K und dann es irgendwie so umformen dass man es auch mit K beweisen kann ? Also ohne eine Schranke zu erraten oder vermuten =
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Di 21.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja sehr schön , danke :)))
> Eine letztze Frage :
>
> man hat die Folge [mm]n^2[/mm] wieder ^^
>
> Kann man bei der Untersuchung nach der Beschränktheit es
> einfach so machen : es sei eine obere Schranke K vorhanden
> , dann gilt :
>
> [mm]n^2[/mm] <= K und dann es irgendwie so umformen dass man es auch
> mit K beweisen kann ? Also ohne eine Schranke zu erraten
> oder vermuten =
erstmal ergänzend:
Um zu zeigen, dass die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n=n^2$ [/mm] nicht konvergiert, genügt es natürlich nicht, zu zeigen, dass sie gegen einen geratenen Wert nicht konvergiert. Die Folge [mm] $(1/n)_n$ [/mm] konvergiert ja gegen $0$, wenn man aber jetzt falsch raten würde, dass sie gegen [mm] $\pi$ [/mm] konvergiere, so bekäme man dennoch natürlich nicht gezeigt, dass [mm] $|1/n-\pi| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$.
Mit anderen Worten:
Wenn Du zeigen willst, dass eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] divergiert, so musst Du beweisen, dass für jedes $g [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
Es gibt ein [mm] $\varepsilon_0=\varepsilon_0(g) [/mm] > 0$ so, dass [mm] $|a_n-g| \ge \varepsilon_0$ [/mm] für unendlich viele $n$.
Jetzt zur Beschränktheit Deiner speziellen Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n=n^2$:
[/mm]
Angenommen, die Folge wäre beschränkt. Dann gibt es ein 0 < S < [mm] \infty [/mm] mit [mm] $|a_n| [/mm] < S$ für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Dies impliziert
[mm] $$(\star)\text{ }0 [/mm] < n [mm] \le n^2=|a_n| [/mm] < S$$
für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Jetzt kannst Du o.E. annehmen, dass $S [mm] \in \IN$ [/mm] wäre (andernfalls beachte, dass $S < S':=[S]+1$ gilt, wobei $[x]$ die Gaußklammer von $x$ bezeichne; damit wäre dann insbesondere auch $S'$ eine Schranke für [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und es wäre $S' [mm] \in \IN$).
[/mm]
Für $n=S$ steht dann in [mm] $(\star)$ [/mm] ein Widerspruch (Welcher?). Damit muss die Annahme, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n=n^2$ [/mm] beschränkt sei, verworfen werden.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Di 21.10.2008 | | Autor: | fndrx |
Das S > [mm] |a_n| [/mm] gelten muss für eine Konvergenz , verstehe ich , aber wieso
S> [mm] |a_n| [/mm] = [mm] n^2 [/mm] >= n >= 0 ist , nicht
und wenn n=S gelte dann
n > [mm] |a_n| [/mm] und weiter naja wenn ich die [mm] n^2 [/mm] >= n >= 0 verstehen würde , dann könnte ich dir das auch noch sagen ;) Sorry ist gerade ein wenig schwer für mich zu Verstehen , nach den ganzen Induktion usw usw :) Trotzdem vielen Dank !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Di 21.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das S > [mm]|a_n|[/mm] gelten muss für eine Konvergenz ,
Du meinst Beschränktheit. Oder willst Du ausnutzen, dass eine jede konvergente Folge insbesondere beschränkt ist? Und hier dann zeigen, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nicht konvergent, da nicht beschränkt?
> verstehe
> ich , aber wieso
>
> S> [mm]|a_n|[/mm] = [mm]n^2[/mm] >= n >= 0 ist , nicht
>
> und wenn n=S gelte dann
>
> n > [mm]|a_n|[/mm] und weiter naja wenn ich die [mm]n^2[/mm] >= n >= 0
> verstehen würde , dann könnte ich dir das auch noch sagen
> ;) Sorry ist gerade ein wenig schwer für mich zu Verstehen
> , nach den ganzen Induktion usw usw :) Trotzdem vielen Dank
> !
naja, für jedes $n [mm] \ge [/mm] 1$ gilt [mm] $n*n=n^2 \ge [/mm] n=n*1$. Außerdem ist [mm] $|n^2|=n^2$, [/mm] da [mm] $n^2 \ge [/mm] 0$ für jedes $n [mm] \in \IN$. [/mm] Also gilt:
[mm] $(\star)$ [/mm] $0 < n [mm] \le n^2=|a_n| [/mm] < S$ für jedes $n [mm] \in \IN\,,$
[/mm]
unter der Annahme, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] durch $S$ beschränkt sei (im Sinne von [mm] $|a_n| [/mm] < S$ für alle $n [mm] \in \IN$).
[/mm]
Ich habe Dir nun erklärt, dass man dabei auch o.E. zu $0 < S < [mm] \infty$ [/mm] zusätzlich $S [mm] \in \IN$ [/mm] annehmen kann.
Die Ungleichung [mm] $(\star)$ [/mm] beinhaltet insbesondere $n < S$ für jedes $n [mm] \in \IN$. [/mm] Wenn aber $n < S$ für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dann muss dies insbesondere auch für $n:=S$, wobei Du bitte beachtest, dass wir hier halt o.E. $S [mm] \in \IN$ [/mm] angenommen haben, gelten. Für $n=S$ bedeutet aber $n < S$ nichts anderes als $S < S$ (bzw. äquivalent dazu $0<0$). Das ist aber nicht möglich, also ein Widerspruch. Die Annahme, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n=n^2$ [/mm] beschränkt sei, muss also falsch sein (denn sie führt zum Widerspruch $S < S$ bzw. $0 < 0$).
Gruß,
Marcel
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