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| Aufgabe | | Begründen sie warum die Folge [mm] a_{n}= \bruch{n^{4}+1}{8n^{3}+2} [/mm] divergiert. Besitzt die Folge einen Grenzwert? |
[mm] a_{n}= \bruch{n^{4}+1}{8n^{3}+2} \ge \bruch{n^{4}}{8n^{3}+2n^{3}}= \bruch{n}{10}
[/mm]
daraus ist ersichtlich, dass die Folge nicht beschränkt ist.
Wenn man sich jetzt den [mm] a_{n} \limes_{n\rightarrow\infty}= \bruch{n^{4}+1}{8n^{3}+2} [/mm] anschaut erhält man
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{4}+1}{8n^{3}+2}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1+ \bruch{1}{n^{4}}}{\bruch{8}{n}+ \bruch{2}{n^4}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} [/mm]
und da eine Division durch 0 nicht möglich ist besitzt die Folge auch keinen Grenzwert.
Kann man das so argumentieren?
Danke.
lg
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> Begründen sie warum die Folge [mm]a_{n}= \bruch{n^{4}+1}{8n^{3}+2}[/mm]
> divergiert. Besitzt die Folge einen Grenzwert?
> [mm]a_{n}= \bruch{n^{4}+1}{8n^{3}+2} \ge \bruch{n^{4}}{8n^{3}+2n^{3}}= \bruch{n}{10}[/mm]
>
> daraus ist ersichtlich, dass die Folge nicht beschränkt
> ist.
Das ist ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , du zeigst praktisch dass [mm] $\forall n\in \IN$ [/mm] deine Folge größer ist als eine, die bekanntermaßen? divergiert, folglich divergiert auch deine Folge.
> Wenn man sich jetzt den [mm]a_{n} \limes_{n\rightarrow\infty}= \bruch{n^{4}+1}{8n^{3}+2}[/mm]
> anschaut erhält man
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{4}+1}{8n^{3}+2}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1+ \bruch{1}{n^{4}}}{\bruch{8}{n}+ \bruch{2}{n^4}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{0}[/mm]
>
> und da eine Division durch 0 nicht möglich ist besitzt die
> Folge auch keinen Grenzwert.
> Kann man das so argumentieren?
Nein. Ich finde, das ist kein Beweis. Schon alleine deswegen, weil es Folgen gibt die den "Grenzwert" 0/0 haben, der dann nach einigem Umformen doch zu [mm] \ln(2) [/mm] o. Ä. wird. Du hast bei deinem Grenzwert-Bilden ein n zuviel in Zähler und Nenner rausgekürzt. Wenn man schon sieht, dass die Folge divergiert, kürzt man im Grenzwert so, dass oben noch ein "n" steht, unten was konstantes:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{4}+1}{8n^{3}+2}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+ \bruch{1}{n^{3}}}{8+ \bruch{2}{n^3}} \quad\quad (= \infty)[/mm]
Also gibt es keinen Grenzwert.
> Danke.
>
> lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 So 16.11.2008 | | Autor: | steirermat |
Danke für die schnelle und gute Antwort.
lg
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Hallo!
Ach ja, was ich eigentlich noch schreiben wollte: Aus der Divergenz einer Folge folgt ja eigentlich direkt, dass sie keinen Grenzwert besitzt - habe mich deswegen schon über die Aufgabenstellung gewundert...
Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 So 16.11.2008 | | Autor: | steirermat |
Ich vermute einen Fangfrage dahinter ;)
lg
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