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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ganz kurz!
Stimmt es, dass gilt:
[mm] \lim_{n\to\infty}x^{\bruch{1}{n}}=1? [/mm] bzw. sogar [mm] \lim_{n\to\infty}|xn|^{\bruch{1}{n}}=1? [/mm]
Wenn ja, sieht man das direkt bzw. weiß man das oder muss man das begründen?
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mo 04.04.2005 | | Autor: | unicon |
hi Bastiane,
meiner Meinung nach stimmt das, weil der exponent [mm] \bruch{1}{n} [/mm] bei n [mm] \to \infty [/mm] gegen Null geht und dann gilt [mm] a^{0}=1 [/mm]
Bei deiner zweiten frage verhält es sich genauso, denn wenn der exponent Null ist, dann ist es egal was als Basis dort steht es wird immer 1.
wegen der frage ob man das Begründen muss oder nich bin ich mir nicht sicher aber ich denke mal nicht.
Greetzt unicon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christiane!
Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion gilt:
[mm]\limes_{n\to\infty}x^{\bruch{1}{n}} \ = \ x^{\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{n}} \ = \ x^0 \ = \ 1[/mm]
[mm]\limes_{n\to\infty}|x*n|^{\bruch{1}{n}}[/mm]
[mm]= \ \limes_{n\to\infty}|x|^{\bruch{1}{n}} \ * \ \limes_{n\to\infty}|n|^{\bruch{1}{n}}[/mm]
[mm]= \ 1 \ * \ \limes_{n\to\infty}e^{\bruch{1}{n}*\ln(n)}[/mm]
[mm]= \ e^{\limes_{n\to\infty}\bruch{\ln(n)}{n}}[/mm] [mm] $(\star)$
[/mm]
[mm]= \ e^0 \ = \ 1[/mm]
[mm] $(\star)$ $\limes_{n\to\infty}\bruch{\ln(n)}{n} [/mm] \ = \ 0$ wegen de l'Hospital!
Grüße
Loddar
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![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
