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Grenzwert: Nachhilfe, Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 Sa 12.12.2009
Autor: kegel53

Aufgabe
Gesucht ist der Grenzwert [mm] \lim_{x \to 3}\ \bruch{x^2-4x-21}{x^2-9}. [/mm]

Tag Leute,

also ich hab das ganze mal etwas vereinfacht zu [mm] \lim_{x \to 3}\ \bruch{x-7}{x-3}. [/mm] Der Grenzwert des Terms ist [mm] \infty. [/mm]
Aber wie kann ich das jetz am einfachsten formal hinschreiben bzw. berechnen, um auf diesen Grenzwert zu kommen?
Vielen Dank mal.

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Sa 12.12.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Kegel,

> Gesucht ist der Grenzwert [mm]\lim_{x \to 3}\ \bruch{x^2+4x-21}{x^2-9}.[/mm]
>  
> Tag Leute,
>  
> also ich hab das ganze mal etwas vereinfacht zu [mm]\lim_{x \to 3}\ \bruch{x-7}{x-3}.[/mm] [notok]

Da hast du irgenwie falsch gekürzt bzw. faktorisiert ...

Es ist [mm] $x^2+4x-21=(x-3)\cdot{}(x+7)$ [/mm] und [mm] $x^2-9=(x+3)\cdot{}(x-3)$ [/mm]

Da bleibt doch nach dem Kürzen [mm] $\frac{x\red{+}7}{x\red{+}3}$ [/mm] übrig.

Da kannst du gefahrlos [mm] $x\to [/mm] 3$ laufen lassen und bekommst einen GW!

> Der Grenzwert des Terms ist  [mm]\pm \infty.[/mm]

Nein, zum einen ist ein GW immer eindeutig, zum anderen ist [mm] $\infty$ [/mm] höchstens ein (uneigentlicher) GW, [mm] $\infty$ [/mm] ist keine Zahl

>  Aber wie kann ich
> das jetz am einfachsten formal hinschreiben bzw. berechnen,
> um auf diesen Grenzwert zu kommen?
>  Vielen Dank mal.

LG

schachuzipus


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Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Sa 12.12.2009
Autor: kegel53


> Hallo Kegel,
>  
> > Gesucht ist der Grenzwert [mm]\lim_{x \to 3}\ \bruch{x^2+4x-21}{x^2-9}.[/mm]
>  
> >  

> > Tag Leute,
>  >  
> > also ich hab das ganze mal etwas vereinfacht zu [mm]\lim_{x \to 3}\ \bruch{x-7}{x-3}.[/mm]
> [notok]
>  
> Da hast du irgenwie falsch gekürzt bzw. faktorisiert ...
>  
> Es ist [mm]x^2+4x-21=(x-3)\cdot{}(x+7)[/mm] und
> [mm]x^2-9=(x+3)\cdot{}(x-3)[/mm]
>  
> Da bleibt doch nach dem Kürzen [mm]\frac{x\red{+}7}{x\red{+}3}[/mm]
> übrig.
>  
> Da kannst du gefahrlos [mm]x\to 3[/mm] laufen lassen und bekommst
> einen GW!
>  

Ah sorry in der Eile das Vorzeichen falsch gesetzt, also es muss natürlich in der Aufgabe [mm] x^2-4x-21 [/mm] heißen. Also dann nochmals zur anfänglichen Frage. Wie geh ich dann vor, wenn ich den Grenzwert [mm] \lim_{x \to 3}\ \bruch{x-7}{x-3} [/mm] bestimmen soll?

edit: Habs in der Aufgabe verbessert.

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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Sa 12.12.2009
Autor: TUDarmstadt


Du überprüfst was passiert wenn x [mm] \to \infty [/mm] verläuft.
Hierbei wirst du schnell feststellen das x keineswegs gegen + / - [mm] \infty [/mm]  verläuft.

Gruß

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Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:25 Sa 12.12.2009
Autor: kegel53

Tut mir leid versteh nich so ganz worauf du hinaus willst.

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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Sa 12.12.2009
Autor: kegel53

Ich hab mir das mal in meinem GTR angeschaut und festgestellt, dass es hier ja gar keinen Grenzwert gibt , also zumindest keinen beidseitigen. Nun trotz allem die Frage wie ich bei einer Grenzwertberechnung der Form [mm] \lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3} [/mm] vorgehen kann bzw. wie ich hier den linksseitigen Grenzwert formal bestimme. Vielen Dank.

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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Sa 12.12.2009
Autor: fencheltee


> Ich hab mir das mal in meinem GTR angeschaut und
> festgestellt, dass es hier ja gar keinen Grenzwert gibt ,
> also zumindest keinen beidseitigen. Nun trotz allem die
> Frage wie ich bei einer Grenzwertberechnung der Form
> [mm]\lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3}[/mm] vorgehen kann bzw. wie
> ich hier den linksseitigen Grenzwert formal bestimme.
> Vielen Dank.

hier sieht man doch eindeutig, dass bei x=3 eine polstelle mit vorzeichenwechsel vorliegt, wie soll es da rechts- und linksseitigen grenzwert geben?
man muss ja nicht immer mit kanonen auf spatzen schiessen ;-)

gruß tee

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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Sa 12.12.2009
Autor: kegel53

Ja gut meinetwegen dann eben uneigentliche Grenzwerte.
Ich würd trotzdem gern wissen wie ich formal zeige, dass  [mm] \lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3}=\infty. [/mm] Die Erklärung, dass man das einfach sieht, gilt soweit ich weiß nicht als Beweis :).



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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Sa 12.12.2009
Autor: fencheltee


> Ja gut meinetwegen dann eben uneigentliche Grenzwerte.
>  Ich würd trotzdem gern wissen wie ich formal zeige, dass  
> [mm]\lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3}=\infty.[/mm] Die Erklärung,
> dass man das einfach sieht, gilt soweit ich weiß nicht als
> Beweis :).
>  
>  

wenn du von links an die 3 gehst, hast du im nenner eine "negative" null und im zähler auch was negatives, quasi
[mm] \lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3}=\frac{-4}{-0}=\infty [/mm]
für den rechtsseitigen uneigentlichen gw gälte dann
[mm] \lim_{x \to 3^{+}} \bruch{x-7}{x-3}=\frac{-4}{+0}=-\infty [/mm]

gruß tee

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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Sa 12.12.2009
Autor: kegel53

Ers mal dankeschön.
Also reciht es aus, wenn ich sag [mm] \bruch{M}{0}=\infty [/mm]  für positives M oder muss ich das definieren? Ich dachte halt, dass ich das noch irgendwie beweisen muss, dass es der Ausdruck auch wirklich [mm] \infty [/mm] ist.

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Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Sa 12.12.2009
Autor: fencheltee


> Ers mal dankeschön.
>  Also reciht es aus, wenn ich sag [mm]\bruch{M}{0}=\infty[/mm]  für
> positives M oder muss ich das definieren? Ich dachte halt,
> dass ich das noch irgendwie beweisen muss, dass es der
> Ausdruck auch wirklich [mm]\infty[/mm] ist.

naja es ist eher

[mm] \frac{a}{0}=\pm\infty [/mm] für [mm] a\not=0 [/mm]
hier spielen wie eben gezeigt, vorzeichen von a und von der 0 eine rolle

gruß tee

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Grenzwert: Vorzeichen ?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 Sa 12.12.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Gesucht ist der Grenzwert [mm]\lim_{x \to 3}\ \bruch{x^2-4x-21}{x^2-9}.[/mm]
>  
> Tag Leute,
>  
> also ich hab das ganze mal etwas vereinfacht zu [mm]\lim_{x \to 3}\ \bruch{x-7}{x-3}.[/mm]
> Der Grenzwert des Terms ist [mm]\infty.[/mm]
>  Aber wie kann ich das jetz am einfachsten formal
> hinschreiben bzw. berechnen, um auf diesen Grenzwert zu
> kommen?
>  Vielen Dank mal.


Hallo zusammen,

ohne mich in die Diskussion einzumischen, stelle
ich nur fest, dass ihr da über zwei verschiedene
Terme diskutiert, nämlich:

           $\ [mm] \lim_{x \to 3}\ \bruch{x^2\,\red{\mathbf{-}}\ 4x-21}{x^2-9}$ [/mm]

oder aber  $\ [mm] \lim_{x \to 3}\ \bruch{x^2\,\red{\mathbf{+}}\ 4x-21}{x^2-9}$ [/mm]

Welches Vorzeichen soll nun wirklich gelten ??


LG    Al


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Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:55 Sa 12.12.2009
Autor: kegel53

Ersteres ist der Fall. Wurde in der ursprünglichen Aufagbe aber bereits verbessert.

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Sa 12.12.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Ersteres ist der Fall. Wurde in der ursprünglichen Aufagbe
> aber bereits verbessert.


... nur haben dies offenbar nicht alle Diskussions-
teilnehmer rechtzeitig gemerkt ...


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:24 Sa 12.12.2009
Autor: kegel53

Mag sein, ist aber nich weiter schlimm, denn die ursprüngliche Aufgabe ist nicht so wichig,
da es ja vielmehr um die Grenzwertbestimmung [mm] \lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3} [/mm] geht. Aber Danke für den Hinweis

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Sa 12.12.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Mag sein, ist aber nich weiter schlimm, denn die
> ursprüngliche Aufgabe ist nicht so wichig,     [haee]  [kopfschuettel]
>  da es ja vielmehr um die Grenzwertbestimmung [mm]\lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3}[/mm]
> geht. Aber Danke für den Hinweis


NATÜRLICH ist die ursprügliche Aufgabe wichtig !

Mit dem abgeänderten Vorzeichen kommt man
nämlich auf die Frage nach dem Grenzwert

        [mm] $\lim_{x \to 3}\ \bruch{x+7}{x+3}$ [/mm]

welcher durchaus existiert !

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Sa 12.12.2009
Autor: kegel53

Du kannst dir ja mal die Diskussion durchlesen und wirst feststellen, dass genau das bereits geklärt wurde und ich daraufhin die Aufgabe sofort korrigiert habe. Was ich meinte war, dass es danach nur noch um die Grenzwertberchnung  [mm] \lim_{x \to 3^{-}} \bruch{x-7}{x-3} [/mm] ging, weshalb die ursprüngliche Aufagbe  nicht mehr relevant war.

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:05 So 13.12.2009
Autor: Al-Chwarizmi

OK.
Um dann aber nicht von "positiven oder negativen Nullen"
zu sprechen, könntest du [mm] x=3+\varepsilon [/mm] setzen und dann schreiben:

     [mm] $\limes_{x\to3}\ \frac{x-7}{x-3}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{\varepsilon\to0}\ \frac{-4+\varepsilon}{\varepsilon}$ [/mm]

Der Zähler strebt mit [mm] \varepsilon\to0 [/mm] gegen -4, der gesamte Bruch aber
je nach dem Vorzeichen des Nenners [mm] \varepsilon [/mm] gegen [mm] -\infty [/mm] oder gegen [mm] +\infty [/mm] .
Dies kann man dann aufdröseln in die beiden Fälle

     [mm] $\limes_{x\downarrow3}\ \frac{x-7}{x-3}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{\varepsilon\downarrow0}\ \frac{-4+\varepsilon}{\varepsilon}\ [/mm] =\ [mm] -\infty$ [/mm]

     [mm] $\limes_{x\uparrow3}\ \frac{x-7}{x-3}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{\varepsilon\uparrow0}\ \frac{-4+\varepsilon}{\varepsilon}\ [/mm] =\ [mm] +\infty$ [/mm]

LG

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:06 So 13.12.2009
Autor: kegel53

Die Idee is natürlich nich schlecht. Vielen Dank für den Tipp.

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