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| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{x^{2}+1}{x^{2}-1})^{x^{2}} [/mm] |
Mein Taschenrechner sagt (durch Einsetzen von großen Zahlen), dass da 1 rauskommt. Das scheint aber nicht der Fall zu sein, denn das bewegt sich für nicht zu große Zahlen einfach zu nah an exp(2). Aber wie zur Hölle kann man den Grenzwert verifizieren? Mit L'hospital komm ich zu keinem Ergebnis, das macht das ganze nur komplizierter. (Dürfen wir auch nicht verwenden und ist in diesem Falle wohl auch nicht verwendbar.) Betrachte ich das als E-Funktion, so steht da praktisch ja [mm] exp(0*\infty) [/mm] wobei das exp(2) sein sollte.
Aber mir gelingt es auch nicht zu zeigen, dass [mm] x^{2}*ln(\bruch{x^{2}+1}{x^{2}-1}) [/mm] gegen 2 konvergiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es gilt [mm] (\bruch{x^2+1}{x^2-1})^{x^2}=(\bruch{x^2-1+2}{x^2-1})^{x^2}=(1+\bruch{2}{x^2-1})^{x^2}=(1+\bruch{2}{x^2-1})^{x^2-1}*(1+\bruch{2}{x^2-1}).
[/mm]
Der linke Faktor geht gegen [mm] e^2 [/mm] und der rechte gegen 1.
Es gilt nämlich allgemein:
Jede Folge der Form [mm] (1+x_n)^{\bruch{1}{x_n}} [/mm] wobei [mm] x_n [/mm] eine (monoton fallende) Nullfolge ist, strebt gegen e. Und normalerweise hat man als spezielle Folge [mm] x_n [/mm] eben [mm] \bruch{1}{n}.
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:45 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Es gilt
> [mm](\bruch{x^2+1}{x^2-1})^{x^2}=(\bruch{x^2-1+2}{x^2-1})^{x^2}=(1+\bruch{2}{x^2-1})^{x^2}=(1+\bruch{2}{x^2-1})^{x^2-1}*(1+\bruch{2}{x^2-1}).[/mm]
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> Der linke Faktor geht gegen [mm]e^2[/mm] und der rechte gegen 1.
>
> Es gilt nämlich allgemein:
> Jede Folge der Form [mm](1+x_n)^{\bruch{1}{x_n}}[/mm] wobei [mm]x_n[/mm]
> eine (monoton fallende) Nullfolge ist, strebt gegen e.
[mm] (x_n) [/mm] muß nicht monoton sein. Nullfolge und > 0 genügt
FRED
> Und
> normalerweise hat man als spezielle Folge [mm]x_n[/mm] eben
> [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
>
> Teufel
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