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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Do 04.02.2010
Autor: DrNetwork

Aufgabe
[mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}} [/mm]

Hat hier irgendjemand eine Idee, dieser Grenzwert dreht sich auch ständig hab schon 3 A4 Seiten voll mit Ansätzen.

        
Bezug
Grenzwert: de l'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 Do 04.02.2010
Autor: Loddar

Hallo DrNetwork!


Diese Aufgabe schreit doch förmlich nach MBde l'Hospital; schließlich liegt hier der unbestimmte Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vor.


Gruß
Loddar


PS: es wäre auch schön gewesen, wenn Du uns wenigstens an einigen Versuchen Deiner 3 Seiten hättest teilhaben lassen.


Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Do 04.02.2010
Autor: DrNetwork

Klar schreit das nach l'Hospital direkt ins Verderben....

[mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}} [/mm]  = [mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^\sqrt{x}}}{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Do 04.02.2010
Autor: abakus


> Klar schreit das nach l'Hospital direkt ins Verderben....
>  
> [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}}[/mm]
>  = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^\sqrt{x}}}{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}[/mm]

Hallo,
Doppelbruch beseitigen, den Grenzwert aufspalten in 2 Faktoren, erkennen, dass [mm] \bruch{e^\sqrt{x}}{cos(2x)} [/mm] in Zähler und Nenner gegen 1 geht und sich voll auf den Rest (Wurzel aus einem Bruch) konzentrieren.
Sollte die Wurzel konvergieren, tut es auch der Wurzelradikant (diese Erkenntnis vereinfacht die erneute L'Hospital-Anwendung).
Die Krankenhausregel kann man sich übrigens sparen, wenn man weiß, dass der Grenzwert von
sin(x)/x (für x gegen Null) 1 ist.
Gruß Abakus

>  


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Do 04.02.2010
Autor: DrNetwork

Genau so bin ich auch vorgeganen also:

[mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}} [/mm]
= [mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^\sqrt{x}}}{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}} [/mm] = [mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{e^\sqrt{x}}{cos(2x)} [/mm] * [mm] \underbrace{\limes_{x\downarrow0} \frac{\sqrt{sin(2x)}}{2\sqrt{x}}}_{xx} [/mm]

xx = [mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{\sqrt{sin(2x)}}{2\sqrt{x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\downarrow0} \frac{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} [/mm]

und dann wirds wieder diffus.

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Do 04.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo DrNetwork,

> Genau so bin ich auch vorgeganen also:
>  
> [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}}[/mm]
>  
> = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^\sqrt{x}}}{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{e^\sqrt{x}}{cos(2x)}[/mm] *
> [mm]\underbrace{\limes_{x\downarrow0} \frac{\sqrt{sin(2x)}}{2\sqrt{x}}}_{xx}[/mm]
>  
> xx = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{\sqrt{sin(2x)}}{2\sqrt{x}}[/mm]

Hier kein de l'Hôpital mehr!

Schreibe [mm] $\frac{\sqrt{\sin(2x)}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{\sin(2x)}}{\sqrt{2}\cdot{}\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sqrt{\frac{\sin(2x)}{2x}}$ [/mm]

Nun hast du lauter bekanntes Zeug ...

> = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}[/mm]
>  
> und dann wirds wieder diffus.

Vorher abbiegen und bedenken, dass [mm] $\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1$ [/mm] ist ...

Das kennst du sicher ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Do 04.02.2010
Autor: DrNetwork


> Nun hast du lauter bekanntes Zeug ...
> Vorher abbiegen und bedenken, dass [mm]\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1[/mm]
> ist ...
>  
> Das kennst du sicher ...

Ne leider nicht haben wir nirgendwo bewiesen wie würde der Beweis aussehen?

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Do 04.02.2010
Autor: fencheltee


>
> > Nun hast du lauter bekanntes Zeug ...
>  > Vorher abbiegen und bedenken, dass [mm]\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1[/mm]

> > ist ...
>  >  
> > Das kennst du sicher ...
>  
> Ne leider nicht haben wir nirgendwo bewiesen wie würde der
> Beweis aussehen?

0/0, ->Krankenhaus

gruß tee

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Do 04.02.2010
Autor: DrNetwork

Aso also [mm] \frac{cos(z)}{1} [/mm] = 1

Bezug
                                                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Do 04.02.2010
Autor: M.Rex


> Aso also [mm]\frac{cos(z)}{1}[/mm] = 1

Yep, mit nen paar mehr Worten drum, wird das korrekt.

[mm] \limes_{x\to0}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm]

Warum kann man hier l'Hospital anwenden?

Also:
[mm] \limes_{x\to0}\bruch{\sin(x)}{x}=\limes_{x\to0}\bruch{\cos(x)}{1}=1 [/mm]


Marius


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:25 Do 04.02.2010
Autor: abakus


> Hallo DrNetwork,
>  
> > Genau so bin ich auch vorgeganen also:
>  >  
> > [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}}[/mm]
>  
> >  

> > = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^\sqrt{x}}}{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}[/mm]
> > = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{e^\sqrt{x}}{cos(2x)}[/mm] *
> > [mm]\underbrace{\limes_{x\downarrow0} \frac{\sqrt{sin(2x)}}{2\sqrt{x}}}_{xx}[/mm]
>  
> >  

> > xx = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{\sqrt{sin(2x)}}{2\sqrt{x}}[/mm]
>
> Hier kein de l'Hôpital mehr!

Oder werte die Ergebnisse gekonnt aus.
Hier hast du noch einen Grenzwert mit [mm] \frac{\sqrt{sin(2x)}}{\sqrt{x}}.... [/mm]

>  
> Schreibe
> [mm]\frac{\sqrt{\sin(2x)}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{\sin(2x)}}{\sqrt{2}\cdot{}\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sqrt{\frac{\sin(2x)}{2x}}[/mm]
>  
> Nun hast du lauter bekanntes Zeug ...
>  
> > = [mm]\limes_{x\downarrow0} \frac{\frac{cos(2x)}{\sqrt{sin(2x)}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}[/mm]

... und hier wird nach Auflösung des Doppelbruchs daraus plötzlich ein Grenzwert mit
[mm] \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{sin(2x)}} [/mm]
Was folgt daraus, wenn man einmal den Bruch und (abgesehen von Faktoren, die ich weggelassen habe) dann das Reziproke des Bruchs erhält?
Gruß Abakus

>  
> >  

> > und dann wirds wieder diffus.
>
> Vorher abbiegen und bedenken, dass [mm]\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1[/mm]
> ist ...
>  
> Das kennst du sicher ...
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus


Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Do 04.02.2010
Autor: DrNetwork


> [mm]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{sin(2x)}}[/mm]
>  Was folgt daraus, wenn man einmal den Bruch und (abgesehen
> von Faktoren, die ich weggelassen habe) dann das Reziproke
> des Bruchs erhält?

Weiss nicht, würd mich aber interessieren :)

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Do 04.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> > [mm]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{sin(2x)}}[/mm]
>  >  Was folgt daraus, wenn man einmal den Bruch und
> (abgesehen
> > von Faktoren, die ich weggelassen habe) dann das Reziproke
> > des Bruchs erhält?
>  
> Weiss nicht, würd mich aber interessieren :)

Dann schaue bei den Grenzwertsätzen nach ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                        
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Do 04.02.2010
Autor: DrNetwork

aber nach dem ableiten kann ich doch nicht zwei sachen miteinander zusammenfassen??

Bezug
                                                                                
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:32 Fr 05.02.2010
Autor: leduart

Hallo
wenn lim(f(x) existiert, dann ist [mm] lim\wurzel{f(x)}=\wurzel{ lim(f(x)} [/mm]
was du mit dem zusammenfassen meinst kapier ich nicht.
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:08 Fr 05.02.2010
Autor: fred97

Gänzlich ohne Krankenhausaufenthalt:

1. Setzt man $f(x)=sin(x)$, so gilt:

            $ [mm] \bruch{sin(x)}{x}= \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} \to [/mm] f'(0) = cos(0) =1$ für $x [mm] \to [/mm] 0$

2. Setzt man $g(t) = [mm] e^t$, [/mm] so gilt:

             $ [mm] \bruch{e^t-1}{t}= \bruch{g(t)-g(0)}{t-0} \to [/mm] g'(0) = [mm] e^0 [/mm] =1$ für $x [mm] \to [/mm] 0$


3. Mit 1. und 2. und

            [mm] $\frac{{e^\sqrt{x}} -1}{\sqrt{sin(2x)}}= \bruch{e^{\wurzel{x}}-1}{\wurzel{x}}*\wurzel{\bruch{1}{2}*\bruch{2x}{sin(2x)}} [/mm] $

lässt sich der gesuchte Limes berechnen

FRED

Bezug
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