Grenzwert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 So 18.04.2010 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Bestimme den Grenzwert:
1) [mm] \limes_{x,y\rightarrow\infty}\bruch{x^2+y^2}{x^4+y^4} [/mm]
2) [mm] \limes_{x,y\rightarrow\infty}(x^2+y^2)e^{-(x+y)} [/mm] |
hallo
ich hab bisher noch keine gw von funktionen mit 2 variablen bestimmen müssen und weiß nicht genau, wie man jetzt umformen muss.
bei 1) würde ich mir vorstellen, dass der nenner schneller wächst als der zähler. aber kann man daraus schon folgern, dass es gegen 0 läuft? kann man das nicht noch irgendwie umformen?
und bei 2) kann ich evtl logarithmieren und erhalte [mm] \limes_{x,y\rightarrow\infty}(x^2+y^2)(-x-y)lne= \limes_{x,y\rightarrow\infty}(x^2+y^2)(-x-y) [/mm] und weil die 1.klammer immer positiv, die 2.klammer immer negativ ist, würde ich tippen, dass das ganze gegen [mm] -\infty [/mm] geht, aber das ist ja nicht wirklich "handfest"
ich wär sehr dankbar für jede hilfe?
grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Do 22.04.2010 | | Autor: | mathe_FS |
Gibt es eine allgemeine Beschreibung, wie man den Grenzwert bei Funktionen mit mehreren Variablen bestimmt?
Wäre auch dankbar für Hilfe!
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Hallo mathe_FS!
Wie so oft gibt es in der Mathematik kein Allheilmittel oder pauschalen Lösungsweg.
Wie bereits angedeutet, kann es durchaus sinnvoll sein, bei derartigen Grenzwerten mit mehreren Variablen auf die Polarkoordinaten zurückzugreifen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo gigi,
mal zu 1):
> Bestimme den Grenzwert:
>
> 1) [mm]\limes_{x,y\rightarrow\infty}\bruch{x^2+y^2}{x^4+y^4}[/mm]
>
> 2) [mm]\limes_{x,y\rightarrow\infty}(x^2+y^2)e^{-(x+y)}[/mm]
> hallo
>
> ich hab bisher noch keine gw von funktionen mit 2 variablen
> bestimmen müssen und weiß nicht genau, wie man jetzt
> umformen muss.
>
> bei 1) würde ich mir vorstellen, dass der nenner schneller
> wächst als der zähler. aber kann man daraus schon
> folgern, dass es gegen 0 läuft? kann man das nicht noch
> irgendwie umformen?
Ich würde es mal mit Polarkoordinaten versuchen.
[mm] $x=r\cdot{}\cos(\varphi), y=r\cdot{}\sin(\varphi)$
[/mm]
Setze das ein, fasse möglichst weit zusammen und betrachte dann
[mm] $\lim\limits_{r\to \infty}\text{von dem zusammengefassten Ausdruck}$
[/mm]
Das sollte unabh. vom Winkel [mm] $\varphi\in (0,2\pi]$ [/mm] gegen 0 gehen.
Das besagt zumindest meine schnelle Handrechnung ...
Gruß
schachuzipus
> ich wär sehr dankbar für jede hilfe?
> grüße
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Hallo gigi!
Und auch für die 2. Aufgabe funktioniert der Weg über die Polarkoordinaten.
Hier dann noch im Anschluss mit Herrn de l'Hospital.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
kann ich also immer wenn ich 2 Variable habe über die Polarkoordinaten gehen???
Ich habe das jetzt mal für die beiden Aufgaben gemacht und würde jeweils [mm] \limes_{r\rightarrow\infty} [/mm] = 0 herausbekommen.
Scheint mir irgendwie zu einfach.
Wir haben folgenden Hinweis bekommen
"Ungleichung 2xy [mm] \le x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] zeigen, damit kann man spaeter vermutlich gut abschaetzen... "???
Und dann noch:
Falls fur alle [mm] \varepsilon> [/mm] 0 ein [mm] c_{0} [/mm] existiert, sodass fur alle (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] mit [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] > [mm] c_{0}^{2} [/mm] gilt, dass [mm] \parallel f(x,y)-c\parallel<\varepsilon [/mm] und somit c der Grenzwert ist.
Logisch? Aber wie mach ich das denn - finde die Definition sagt nicht wirklich was aus! Ich raff das nicht.
Kann es mir bitte jemand erklären?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 24.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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