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Hi,
ich soll folgende Behauptung nachweisen:
[mm] \limes_{ \lambda\rightarrow\infty} \bruch{2\lambda+1}{ \wurzel{1+(\lambda+1)^2}+\wurzel{1+\lambda^2} } [/mm] = 1
Naja, ich weiß jetzt gar nicht wie man da anfängt.
Danke für Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fingolfin!
Versuche doch einfach mal, innerhalb der beiden Nenner-Wurzeln jeweils [mm] $\lambda^2$ [/mm] auszuklammern.
Anschließend kannst Du dann im gesamten Bruch [mm] $\lambda$ [/mm] kürzen und die Grenzwertbetrachtung durchführen.
Reicht Dir dieser Tipp als Starthilfe?
Gruß
Loddar
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Hallo,
ja das hilft.
Also ich hab jetzt folgendes raus:
1. Zwischenergebnis:
[mm] \limes_{ \lambda\rightarrow\infty} \bruch{2+1/\lambda}{ \wurzel{2+2\lambda} } [/mm]
Dann weiter:
[mm] \limes_{ \lambda\rightarrow\infty} \bruch{2+1/\lambda}{ \wurzel{2}*1\wurzel{\lambda} } [/mm]
Vorrausgesetzt das ist alles so richtig. ;)
Dann geht der Zähler gegen 2 und im Nenner das [mm] 1\wurzel{\lambda} [/mm] gegen unendlich. Oder? ;)
Was macht das mal [mm] \wurzel{2} [/mm] ?!
Oder lieg ich jetzt total daneben?
Grüße ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fingolfin!
Da ist aber einiges mit dem Umgang mit den Wurzeln schief gelaufen ...
Ich zeige Dir mal die ersten Schritte:
[mm] $\bruch{2\lambda+1}{\wurzel{1+(\lambda+1)^2}+\wurzel{1+\lambda^2}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\lambda*\left(2+\bruch{1}{\lambda}\right)}{\wurzel{1+\left[\lambda*\left(1+\bruch{1}{\lambda}\right)\right]^2}+\wurzel{\lambda^2*\left(\bruch{1}{\lambda^2}+1\right)}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\lambda*\left(2+\bruch{1}{\lambda}\right)}{\wurzel{\lambda^2*\left[\bruch{1}{\lambda^2}+\left(1+\bruch{1}{\lambda}\right)^2\right]}+\wurzel{\lambda^2*\left(\bruch{1}{\lambda^2}+1\right)}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\lambda*\left(2+\bruch{1}{\lambda}\right)}{\lambda*\wurzel{\bruch{1}{\lambda^2}+\left(1+\bruch{1}{\lambda}\right)^2}+\lambda*\wurzel{\bruch{1}{\lambda^2}+1}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\lambda*\left(2+\bruch{1}{\lambda}\right)}{\lambda*\left[\wurzel{\bruch{1}{\lambda^2}+\left(1+\bruch{1}{\lambda}\right)^2}+\wurzel{\bruch{1}{\lambda^2}+1} \ \right]}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\red{1}*\left(2+\bruch{1}{\lambda}\right)}{\red{1}*\left[\wurzel{\bruch{1}{\lambda^2}+\left(1+\bruch{1}{\lambda}\right)^2}+\wurzel{\bruch{1}{\lambda^2}+1} \ \right]}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{2+\bruch{1}{\lambda}}{\wurzel{\bruch{1}{\lambda^2}+\left(1+\bruch{1}{\lambda}\right)^2}+\wurzel{\bruch{1}{\lambda^2}+1}}$
[/mm]
Nun sind wir fertig mit Umformen und können die Grenzwertbetrachtung durchführen. Schaffst Du den Rest jetzt alleine?
Hast Du auch Deinen Fehler (ein)gesehen bzgl. den beiden Wurzeln im Nenner?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Fingolfin |
Hi,
ja den Rest schaff ich alleine.
Ja, ich denke ich hab den Fehler gemacht Dinge aus der Wurzel zu ziehen, die man nicht rausziehen darf im Zusammenhang mit der Addition. ;)
Vielen Dank.
Gruß
Fingolfin
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